圓面積怎麼算？
計算圓面積，先把半徑平方，再把結果乘以圓周率π。半徑是從圓心到圓周上任一點的距離，π約等於3.14。答案要寫成面積單位，例如cm²或m²，因為面積量的是一個面的大小，而不是長度。
例題
求半徑5 cm的圓面積。
- 把半徑平方。5 × 5 = 25
- 乘以π。25 × π ≈ 78.54
- 寫上面積單位。面積約為78.54 cm²
也可以把答案保留為25π cm²。這種精確的寫法到了高年級很常見，因為不必取近似值。
用3.14還是計算機上的π鍵？
兩種都可以，只要依照老師或題目的要求。π是無理數，它的小數部分無限不循環，大英百科全書的介紹裡也這樣說明。用3.14計算得25 × 3.14 = 78.5 cm²，用π鍵得78.54 cm²。這點小差別只是因為π取了近似值。
使用公式時的常見錯誤
最常見的錯誤是把半徑乘以2，而不是平方。半徑5 cm時，5 × 2 = 10，但5² = 25。另一個錯誤是先把π和半徑相乘，再把整個結果平方。依照四則運算的順序，次方要先算，所以要先把半徑平方，再乘以π。
已知直徑怎麼求圓面積？
已知直徑求面積，先把直徑除以2得到半徑，再用A = πr²。直徑穿過圓心，從圓的一邊連到另一邊，所以是半徑的2倍。如果想一步算出，公式是A = πd² ÷ 4，結果完全一樣。
例題
一個圓的直徑是10 cm。除以2得到半徑5 cm。然後5² × π = 25π ≈ 78.54 cm²。
用一步公式，10² = 100，再算100 × π ÷ 4 = 25π ≈ 78.54 cm²。兩種方法結果相同。
一個很常見的錯誤是直接把直徑代入πr²。用10 cm算會得到100π ≈ 314.16 cm²，大了整整4倍。如果答案大得出乎意料，就檢查一下是不是不小心用了直徑。
已知圓周長怎麼求圓面積？
已知圓周長求面積，先用圓周長除以2π求出半徑，再用A = πr²。圓周長是繞圓一圈的長度，等於2πr。如果想一步算出，公式是A = C² ÷ (4π)，其中C是圓周長。
例題
一個圓形花圃的圓周長是30 m。求它的面積。
- 求半徑。30 ÷ (2 × π) ≈ 4.77 m
- 求面積。計算機裡保留半徑的完整數值。π × 4.7746² ≈ 71.6 m²
- 用一步公式驗算。30² ÷ (4 × π) = 900 ÷ 12.566 ≈ 71.6 m²
如果先把半徑取近似值4.77，得到的是π × 4.77² ≈ 71.5 m²。正因為有這點小差距，最好只在最後一步取近似值。
為什麼圓面積是πr²？
把一個圓像切披薩一樣平分成很多小塊，再一正一反地排成一列。這些小塊會拼成一個接近長方形的圖形。它的高是半徑r，長是圓周長的一半πr。所以它的面積是πr × r，也就是πr²。
例題
想像把半徑5 cm的圓平分成16塊。一半尖端朝上，一半朝下。這一列的長等於圓周長的一半，π × 5 ≈ 15.7 cm，高等於半徑5 cm。所以面積約為15.7 × 5 ≈ 78.5 cm²，和公式的結果一致。
只分16塊時，邊緣還有一點波浪狀。分成100塊或1,000塊時，圖形就越來越接近真正的長方形。這就是公式背後的道理，比只背公式容易記得多。
古希臘數學家阿基米德在2,000多年前就研究過這個問題。大英百科全書介紹了他如何證明圓面積除以半徑的平方總是同一個數，以及他如何用圓內和圓外的多邊形證明π介於223/71和22/7之間。
快速檢查答案的方法
一個圓剛好能放進邊長等於直徑的正方形裡。這個正方形的面積是2r × 2r = 4r²。圓占正方形的四分之三多一點，約78.5%，因為π ÷ 4 ≈ 0.785。所以，如果半徑5 cm的圓放在邊長10 cm、面積100 cm²的正方形裡，它的面積應該比80 cm²小一點。實際是78.54 cm²。
公式要常用、換不同的數字來用，才記得最牢。在幾何遊戲裡，對戰中的每次攻擊都是一道圖形題，所以能快速想起πr²就成了贏得回合的關鍵。遊戲中π以3計算，所以每個答案都是可以心算的整數。時間短、次數多的練習比一次練很久效果更好。
已知面積怎麼求半徑？
已知面積求半徑，就把公式倒過來用。先用面積除以π，再求結果的平方根。寫成公式就是r = √(A ÷ π)。如果需要直徑，就把半徑乘以2。
例題
一個圓的面積是50 cm²。除以π。50 ÷ π ≈ 15.92。再求平方根。√15.92 ≈ 3.99，所以半徑約為3.99 cm，直徑約為7.98 cm。
驗算時，把半徑代回公式。π × 3.99² ≈ 50.0 cm²。如果平方根有點生疏，玩幾回合平方根，這一步就會快很多。
一個大披薩比兩個小披薩大嗎？
通常是的。因為半徑要平方，圓的直徑變成2倍，面積就變成4倍。直徑30 cm的披薩面積約707 cm²。兩個直徑20 cm的披薩加起來約628 cm²，所以一個大披薩比較多。
例題
30 cm的披薩半徑是15 cm，面積是π × 15² ≈ 706.9 cm²。一個20 cm的披薩半徑是10 cm，面積是π × 10² ≈ 314.2 cm²。兩個加起來約628.3 cm²，比一個大披薩少約79 cm²。
這樣的比較很適合用來讓孩子明白為什麼平方很重要。一個只寬一點點的圓，覆蓋的面積卻大得多。
半圓的面積是多少？
半圓是圓的一半，所以面積是πr²的一半，也就是πr² ÷ 2。半徑5 cm的半圓，面積是25π ÷ 2 ≈ 39.27 cm²。記得要用半徑，而不是直邊的長度，因為直邊是直徑。
先求半徑，其餘就容易了
幾乎所有圓面積的題目，只要知道半徑就容易了。用下面的清單選對第一步。
- 已知半徑r：A = πr²
- 已知直徑d：r = d ÷ 2，或A = πd² ÷ 4
- 已知圓周長C：r = C ÷ (2π)，或A = C² ÷ (4π)
- 已知面積求半徑：r = √(A ÷ π)
- 半圓：A = πr² ÷ 2
最後把單位寫成面積單位，再用正方形檢查一下答案的大小是否差不多。