費氏數列是怎麼產生的？
要寫出費氏數列，先寫下0和1，再把最後兩個數相加得到下一個數，然後不斷重複這個步驟。每個新的數只取決於它前面的兩個數，所以這個數列可以一直寫下去。用這種方式寫出來的數叫做費氏數。
例子
一步一步寫出這個數列。從0和1開始。
- 0 + 1 = 1
- 1 + 1 = 2
- 1 + 2 = 3
- 2 + 3 = 5
- 3 + 5 = 8
- 5 + 8 = 13
- 8 + 13 = 21
每個新的數只需要最後兩個數。數字長得很快，但規則從來不變，所以這是孩子練習心算加法的好題目。這個規則簡單到小小孩都懂，可是同樣的數卻出現在向日葵、松果和黃金比例裡。
數列是從0開始還是從1開始？
兩種寫法都很常見。很多書從0, 1, 1, 2, 3開始，也有些書從1, 1, 2, 3開始。不管哪一種，後面的數都一樣。數學家通常把規則寫成Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂，其中F₀ = 0,F₁ = 1，意思是「每一項都等於前兩項的和」。
數列中藏著的規律
這個數列裡藏著一些孩子喜歡尋找的小規律。每隔三個數就有一個偶數（0, 2, 8, 34, 144, 610），其他的數都是奇數。每隔五個數就有一個能被5整除的數（0, 5, 55, 610）。請孩子沿著數列往後檢查這些規律是不是還成立。這是一個既能練習加法、又能發現結構的有趣方法。
費氏數列是從哪裡來的？
這個數列是以義大利數學家比薩的李奧納多命名的，他更為人熟知的名字是費波那契。他在1202年寫成的《Liber abaci》一書中，透過一道關於兔子的謎題介紹了這個數列。根據大英百科全書，這是歐洲已知最早的遞迴數列，也就是說，每一項都是由前面的項推出來的。
例子
兔子謎題是這樣的。一開始有一對剛出生的兔子。一對兔子需要一個月長大，之後每對成年兔子每個月都會生下一對新兔子。兔子都不會離開。在每個月月初數一數有幾對兔子。
- 第1個月：1對（剛出生）
- 第2個月：1對（已經長大）
- 第3個月：2對（成年兔子和牠們的第一對小兔）
- 第4個月：3對
- 第5個月：5對
- 第6個月：8對
每個月的總數等於上個月的總數加上成年兔子的對數，而成年兔子的對數剛好等於兩個月前的總數。這就是費氏數列的規則。當然，真正的兔子不會這麼整齊地繁殖。這道謎題是用來描述規律的，並不是在研究動物。
怎麼求費氏數列的下一個數？
要求下一個費氏數，就把數列中最後兩個數相加。21和34後面是21 + 34 = 55,34和55後面是89。如果要求數列中很後面的數，可以一直把數列寫下去，也可以用比內公式，它利用黃金比例直接算出任意一項。
例子
以F₀ = 0為起點，求第10個費氏數。把數列寫出來是0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55，所以F₁₀ = 55。
用比內公式不必寫出數列也能得到同樣的答案。把黃金比例φ（約1.618）乘10次方，再除以√5。結果約為122.99 ÷ 2.236 ≈ 55.004，四捨五入到最接近的整數就是55。對年紀大一點的學生來說，這是個驚喜：一個由平方根組成的數，每次都會非常接近一個整數。
找出一串數背後的規則，這種能力遠遠不只用在費氏數列上。數列遊戲把它變成一場對戰，每次攻擊都是一個數列，你要找出缺少的那個數。這是一種快速練習的方法，不用動筆就能看出像「把最後兩個數相加」這樣的規律。
費氏數列和黃金比例有什麼關係？
把每個費氏數除以它前面的數，得到的結果會越來越接近黃金比例，約等於1.618。例如，8 ÷ 5 = 1.6,13 ÷ 8 = 1.625,89 ÷ 55 ≈ 1.618。黃金比例本身是(1 + √5) ÷ 2，它是一個小數部分無限不循環的數。
例子
看看隨著數越來越大，比值是怎麼慢慢穩定下來的。
- 3 ÷ 2 = 1.5
- 5 ÷ 3 ≈ 1.667
- 8 ÷ 5 = 1.6
- 13 ÷ 8 = 1.625
- 21 ÷ 13 ≈ 1.615
- 34 ÷ 21 ≈ 1.619
- 55 ÷ 34 ≈ 1.618
這些結果在1.618上下來回跳動，而且一次比一次更接近。大英百科全書提到，數學家羅伯特·西姆森在1753年描述了這個關係。
什麼是費氏螺旋？
先畫一個邊長為1的正方形，在旁邊再畫一個邊長為1的正方形，接著依序畫邊長為2、3、5、8的正方形，每個正方形都貼著已經拼好的長方形擺放。用四分之一圓弧連接每個正方形的兩個對角，就得到費氏螺旋。它和黃金螺旋非常接近，黃金螺旋每轉四分之一圈就按黃金比例放大一次。
費氏數列在大自然的哪些地方出現？
費氏數經常出現在植物上。向日葵的種子排成兩組螺旋，每個方向的螺旋條數通常是一對相鄰的費氏數，例如34和55，或55和89。松果上也有類似的螺旋，很多花有3、5、8、13或21片花瓣。
例子
拿一顆松果或一張向日葵的照片，數一數順時針彎曲的螺旋。再數一數往另一個方向彎曲的螺旋。薩里大學朗恩·諾特博士關於大自然中費氏數的網頁展示了一個方向有55條、另一個方向有34條螺旋的向日葵，還有更大的、分別有89條和55條的向日葵。
同一組網頁也按花瓣數列出了一些花，例如飛燕草有8片，千里光和一些雛菊有13片，紫菀有21片。和孩子一起數一數是很好的動手活動，能讓孩子看到數字描述的正是身邊真實的事物。
植物為什麼會長成費氏螺旋？
很多植物在長出每一顆新種子或每一片新葉子時，都會相對上一個轉過大致相同的角度，約137.5°。這個角度和黃金比例有關，能讓種子排列得緊密而不留空隙，我們能數出的螺旋，正是這種穩定旋轉帶來的結果。朗恩·諾特指南的第二部分說明了這個角度為什麼這麼有效。
費氏數列真的在大自然中無所不在嗎？
不是。費氏數在植物中很常見，但它並不是自然法則。朗恩·諾特在薩里大學的網頁上指出，花瓣或種子頭上不一定都能找到費氏數，有些花，例如倒掛金鐘，只有4片花瓣。網路上的很多說法，尤其是關於貝殼、人臉和著名建築的說法，都把證據誇大了。
例子
鸚鵡螺的殼常常被畫上一條黃金螺旋來展示。鸚鵡螺的殼確實是按對數螺線生長的，這種曲線在變大時保持形狀不變。但諾特的網頁指出，它的生長比例並不固定，可能不是黃金比例，把它稱為黃金螺旋是不正確的。所以，鸚鵡螺是一條美麗的螺線，但並不能證明費氏數列。
這對年紀大一點的孩子來說也是很有用的一課。經常出現的規律值得注意，但誠實的問題永遠是「出現得有多頻繁，又有多接近？」去數一數真實松果上的螺旋，比看網路上的任何圖片都更能說明問題。
兩個起始數和一條規則就能產生整個數列
每個費氏數都來自同一個步驟，也就是把它前面的兩個數相加。下面是從F₀ = 0開始的前21項，你可以用來核對自己寫的數列。
- 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
- 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987
- 1,597, 2,584, 4,181, 6,765
如果孩子算亂了，就回到他們確定沒錯的最後兩個數，重新相加。規則從來不變，所以一個錯誤總是很容易改正。
接著練這些