如果你覺得這不對勁，別擔心，很多人都這麼想。成千上萬的人，其中不乏博士，一開始都不肯相信。下面先介紹這個謎題，再從幾個不同的角度說明為什麼換門比較划算。總有一種說法能讓你恍然大悟。
蒙提霍爾問題是怎麼回事？
你在參加一個電視遊戲節目，面前有三扇關著的門。一扇門後面是汽車，另外兩扇後面是山羊。你選了一扇門。主持人知道汽車在哪裡，他打開另外兩扇門中的一扇，讓你看到一隻山羊。然後他問你，要堅持原來的門，還是換到剩下的那扇關著的門。
大多數人會聳聳肩說，沒差。只剩兩扇門了，一定是五五波。其實不是。換門的話，3次裡有2次能贏得汽車。
這個謎題以蒙提·霍爾的名字命名，他是電視遊戲節目 Let's Make a Deal 的主持人。在中文裡，它也常被稱為「三門問題」。這個著名的答案取決於三條規則。
- 主持人一定會打開一扇你沒選的門。
- 主持人一定會讓你看到山羊，絕不會打開有汽車的門。
- 主持人一定會給你換門的機會。
為什麼換門3次裡能贏2次？
你第一次選錯的情況，3次裡有2次。每次選錯時，主持人都別無選擇。他只能打開另一扇山羊門，於是汽車就留在你可以換過去的那扇門後面。所以只要你第一次猜錯，換門就一定贏；只有你一開始剛好選中汽車時，換門才會輸。
例子
假設你每次都選1號門。汽車只可能在三個位置，每種情況的可能性都一樣。
- 汽車在1號門後面。主持人打開2號門或3號門。不換就贏，換門就輸。
- 汽車在2號門後面。主持人只能打開3號門。不換就輸，換門就贏。
- 汽車在3號門後面。主持人只能打開2號門。不換就輸，換門就贏。
數一數。不換贏1次，換門贏2次。不管你一開始選哪扇門，結果都一樣。
也可以換個方式想。你的門一開始有三分之一的機會，另外兩扇門共同擁有剩下的三分之二。主持人打開其中一扇時，汽車並沒有移動。他只是告訴你，這兩扇門裡現在是哪一扇獨占了這三分之二。
只剩兩扇門了，為什麼不是五五波？
因為主持人不是隨便開門的。他知道汽車在哪裡，而且總是避開它，所以他留著沒開的那扇門，是根據這個資訊挑出來的。你自己的門是盲選的，仍然只有三分之一的機會。另一扇關著的門得到剩下的三分之二。
《科學美國人》一篇討論這個謎題的文章把這種錯誤歸因於心理學家所說的「等機率偏誤」。我們往往會預設，擺在眼前的幾種結果發生的可能性都一樣。兩扇門看起來就像擲硬幣，於是我們就不再往下想了。
另一個陷阱是，主持人的動作看起來什麼也沒告訴你。實際上，它透露了很多。只要你的門後是山羊，主持人就不得不讓汽車那扇門關著。這個「不得不」的選擇，就是隱藏的資訊。
換成100扇門會比較好懂嗎？
對很多人來說，會的。想像有100扇門，只有一輛汽車。你選了一扇，知道汽車位置的主持人打開其餘門中的98扇，露出98隻山羊。只剩一扇門還關著。你的門只有百分之一的機會。主持人刻意跳過的那扇門，現在擁有剩下的百分之九十九。
例子
你選了37號門。主持人把1號到100號門全部打開，只留下37號和82號。你真的認為自己隨手一選就選中了嗎？更有可能的是，他跳過82號門，正是因為汽車就在它後面。
讓這個謎題出名的瑪麗蓮·沃斯·莎凡特，用過一個更大的版本，有100萬扇門。三扇門時道理一樣，只是更難憑感覺體會。如果100扇門也幫不了你，那就試著從「選錯」的角度去想。你第一次選錯的情況3次裡有2次，而換門能把每一次選錯都變成贏。
如果主持人不知道汽車在哪裡呢？
那換門就沒有優勢了。如果主持人隨便開了一扇門，剛好是山羊，那麼不換和換門都只有一半的機會贏。只有當主持人知道汽車在哪裡、總是打開山羊門、而且總是給你換門機會時，三分之二這個答案才成立。
例子
你選了1號門，一個什麼都不知道的主持人隨機打開2號門或3號門。有時他會不小心讓汽車露出來，這幾局就作廢了。在出現山羊的那些局裡，汽車剛好有一半的時候在你的門後面。
真正的蒙提·霍爾也指出過同樣的問題。在1991年的一篇《紐約時報》文章中，他提醒說，如果主持人可以自己決定要不要給換門的機會，參賽者就要小心了。在真實的節目裡，這個提議本身可能就是個陷阱。
怎樣自己驗證蒙提霍爾問題？
你只需要三張撲克牌和一個朋友。一張A代表汽車，另外兩張牌代表山羊。朋友把牌背面朝上洗好，你指一張，朋友再翻開一張你沒選的山羊牌。玩30局，每次都換。你應該能贏20局左右。
然後再玩30局，每次都不換。這次你應該能贏10局左右。局數這麼少，數字會有些起伏，但差別很快就看得出來。
就連著名的數學家也需要親眼看到才相信。根據《科學美國人》的說法，多產的數學家保羅·艾狄胥也曾被這個謎題考倒。所以，如果你還是覺得不對勁，就拿牌來試試看吧。
這個謎題真正訓練的，是公平地數出所有可能情況的能力。機率遊戲每一回合問的都是這類問題。例如在下面這場對戰中，你要數一數4枚硬幣剛好出現1個正面的情況有幾種。答案是4種，因為正面可以出現在四枚硬幣中的任何一枚上。
為什麼這麼多人會在蒙提霍爾問題上出錯？
兩扇關著的門看起來就是五五波的選擇，而主持人掌握的隱藏資訊很容易被忽略。後悔心理可能也有影響。從汽車那扇門換走後輸掉，比堅持原選擇輸掉更讓人難受，所以很多人即使懂了其中的數學，還是會堅持第一次選的門。
這個謎題最早出現在1975年，來自統計學家史蒂夫·塞爾文寫的信。它在1990年出了名，當時瑪麗蓮·沃斯·莎凡特在《Parade》雜誌的 Ask Marilyn 專欄裡回答了這個問題，並告訴讀者應該換門。根據《科學美國人》的報導，她收到了估計約1萬封來信，說她錯了。《紐約時報》還補充說，其中將近1,000封信的署名者擁有博士學位。
當然，她是對的。這些信如今也成了這個故事的一部分，它們最能提醒我們，對機率充滿自信的直覺，可能完全是錯的。
只要主持人知情且一定開山羊門，就換門
在一般的規則下，換門能讓你贏的機會加倍，從三分之一變成三分之二。規則一變，答案也可能跟著變，例如主持人隨機開門，或者只在對他有利時才給你換門的機會。這就是超越遊戲節目的道理。在相信某個機率之前，先問一問，擺在你面前的資訊是怎麼被挑選出來的。
接著練這些