怎麼照運算順序一步一步算？
照著運算順序（英文叫 PEMDAS），一道算式要分四輪來算。先算括號裡面的，再算次方，接著由左到右算乘法和除法，最後由左到右算加法和減法。每算完一輪，就把整行算式重新抄一次，之後哪裡算錯，一眼就看得出來。
例題
計算 3 + 4 × (6 − 2)² ÷ 8。
- 括號：6 − 2 = 4，算式變成 3 + 4 × 4² ÷ 8
- 次方：4² = 16，算式變成 3 + 4 × 16 ÷ 8
- 乘除，由左到右：4 × 16 = 64，再算 64 ÷ 8 = 8，算式變成 3 + 8
- 加減：3 + 8 = 11
把算式重抄一次，感覺有點慢，但這仍然是避免算錯最好的方法。常見的錯誤是一開始就把 3 和 4 加起來，得到 7，最後的答案就錯了。
PEMDAS 裡乘法要比除法先算嗎？
不是。乘法和除法是同一級，加法和減法也是同一級。同一級的運算，只要由左到右算就好。PEMDAS 把 M 寫在 D 前面，只是因為一個單字總得把字母排出某種順序。把這些字母當成嚴格的先後排名，是運算順序最常見的錯誤之一。
例題
計算 24 ÷ 4 × 2。
- 從左邊看，先出現的是除法：24 ÷ 4 = 6
- 再算乘法：6 × 2 = 12
如果先算乘法，就會得到 24 ÷ 8 = 3，這是錯的。加法和減法也一樣。在 10 − 4 + 3 裡，由左到右算是 6 + 3 = 9。先算加法會得到 10 − 7 = 3，一樣是錯的。
免費教科書 OpenStax Prealgebra 2e 寫得很清楚。乘法和除法的優先順序相同，所以要由左到右依序計算。很多大人已經忘了學校教過的這個細節，網路上許多數學題的爭論也是因此而來。
PEMDAS、BODMAS 和 BIDMAS 有什麼不同？
規則沒有不同，不同的只有用字。PEMDAS 以 P（parentheses，括號）開頭，BODMAS 和 BIDMAS 則以 B（brackets，也是括號）開頭。E（exponents）、O（orders）和 I（indices）指的都是次方和開根號。每個版本都把乘法和除法放在同一級，加法和減法放在下一級。
例題
分別用每個版本來算 2 + 3 × 4²。
- 先算次方：4² = 16
- 再算乘法：3 × 16 = 48
- 最後算加法：2 + 48 = 50
BODMAS 剛好把 D 寫在 M 前面，PEMDAS 則把 M 寫在 D 前面。這裡兩者都得到 50，而且不管什麼算式，兩個版本的答案都一樣。如果字母順序老是讓人搞混，可以把規則寫成四個等級，而不是六個字母：括號、次方、乘或除、加或減。
為什麼需要運算順序？
如果沒有約定好的順序，像 2 + 3 × 4 這樣的算式就可能有兩種意思。先加得到 20，先乘得到 14。依照約定，乘法先算，所以答案是 14。這條規則的用意很簡單：每個人看到同一道算式，都能算出同一個結果。
例題
朋友買了 3 本筆記本，每本 4 枚硬幣，還買了一支筆，花了 2 枚硬幣。總共是 2 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14 枚硬幣。如果先算加法，就會得到 5 × 4 = 20，好像那支筆買了四次一樣。
這個約定比那些縮寫古老得多。根據聖安德魯斯大學的數學史資料庫 MacTutor，早在 16 世紀最早的符號代數書裡，先乘後加減就已經是規則了。同一個網頁還引用了一位歷史學家在 1920 年代末寫下的話：關於 ÷ 和 × 誰該先算，當時仍然沒有共識。
8 ÷ 2(2 + 2) 的答案是多少？
如果照學校教的運算順序，8 ÷ 2(2 + 2) 等於 16。先算括號，得到 4。緊貼著括號寫的 2 代表乘法，而乘法和除法要由左到右算，所以 8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16。
例題
下面把兩種讀法放在一起比較。
- 由左到右：8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16
- 把 2(2 + 2) 看成一個整體：8 ÷ (2 × 4) = 8 ÷ 8 = 1
真正的問題在於算式的寫法。柏克萊加州大學數學系網站上的一篇說明指出，這類算式沒有標準的約定，因為把數字緊貼著括號寫，會讓人覺得兩者是一體的。數學家會多加括號，避開整場爭論：(8 ÷ 2)(2 + 2) 或 8 ÷ (2(2 + 2))。
分數線也有同樣的分組作用。如果分數線上面寫 6 + 4，下面寫 2，就要先算加法，答案是 10 ÷ 2 = 5。
運算順序最常見的錯誤有哪些？
大部分的錯誤，來自把縮寫當成六個先後固定的獨立步驟。這樣一來，就會先乘後除，或是先加後減。其他常見的失誤還有：忘了分數線會把上面和下面各自分成一組，以及幫負數平方時漏掉括號。每算一步就把算式重抄一次，大多數錯誤都抓得出來。
一再出現的錯誤
- 先乘後除。在 24 ÷ 4 × 2 裡，要由左到右算：6 × 2 = 12。
- 先加後減。在 10 − 4 + 3 裡，要由左到右算：6 + 3 = 9。
- 負數的平方。−3² 表示 −(3²) = −9，而 (−3)² = 9。負號要不要一起平方，由括號決定。
- 從外層括號開始算。在 2 × [5 + (3 − 1)²] 裡，要從裡面算起：3 − 1 = 2，接著 2² = 4，再來 5 + 4 = 9，最後 2 × 9 = 18。
- 忽略分數線。先把分子和分母各自算好，再相除。
怎麼練習運算順序？
練習這條規則，最好的方法是常常做一些簡短的計算。在運算順序遊戲裡，每次攻擊都是一道混合運算，例如 (5 + 3) × 7。先算括號，再算乘法，輸入 56 就能發動攻擊。
次方會讓很多人算得慢下來，遇到負數時更是如此。如果你卡在這裡，可以先玩玩看次方遊戲。之後再算含有次方的長算式，就會容易很多。
規則的名稱要看你在哪裡學。在美國叫 PEMDAS，在英國叫 BODMAS 或 BIDMAS。其他語言有各自的簡短說法，但背後的規則到哪裡都一樣。在台灣，課本上的說法是「先乘除，後加減，括號內的先算」。
共同的規則讓每個人得到同一個答案
運算順序是一種約定，不是自然定律，只有大家都用同一套約定，它才有用。先算括號，再算次方，接著由左到右算乘除，最後由左到右算加減。如果一道算式還是可能有兩種讀法，就加上括號，爭論也就結束了。