為什麼斜截式這麼好用
方程式一旦寫成這種形式，就能直接讀出斜率和起點，幾秒鐘就能畫出直線。下面會說明怎麼讀懂它，怎麼由兩個點或其他形式的方程式求出它，以及大多數同學最容易犯的錯誤。
怎麼求直線的斜截式？
要求出 y = mx + b，需要兩樣東西：斜率 m 和 y 截距 b。先用兩個點求斜率，m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)。再把其中一個點和斜率代入 y = mx + b，解出 b。最後把求得的數代替 m 和 b，寫出方程式。
例題
求通過 (1, 5) 和 (3, 9) 兩點的直線方程式。
- 斜率：m = (9 − 5) ÷ (3 − 1) = 4 ÷ 2 = 2
- 代入點 (1, 5)：5 = 2 × 1 + b，所以 b = 3
- 方程式：y = 2x + 3
- 用另一點 (3, 9) 驗算：2 × 3 + 3 = 9，成立。
最後這一步驗算只要十秒鐘，卻能抓出大部分錯誤，很值得養成習慣。
斜率是分數怎麼辦？
這裡出現分數完全正常，算出分數不代表你算錯了。取 (4, 0) 和 (−2, 4) 兩點。斜率是 (4 − 0) ÷ (−2 − 4) = 4 ÷ (−6) = −2/3。再由 0 = −2/3 × 4 + b 得到 b = 8/3，所以 y = −2/3x + 8/3。用 (−2, 4) 驗算：4/3 + 8/3 = 12/3 = 4。
斜率最好保留分數，不要四捨五入成小數，因為分數是精確的，驗算時結果剛好吻合。如果拖慢你的是分數，在分數遊戲裡玩幾回合，擴分和約分都會快很多。
上面這一回合裡，7/10 = 70/100，因為分子和分母都乘以 10。
y = mx + b 中的 m 和 b 代表什麼？
在 y = mx + b 中，m 是斜率，b 是 y 截距。斜率表示 x 每增加 1 時 y 變化多少，也就是直線每往右走一步上升多少。y 截距是 x = 0 時 y 的值，對應直線與 y 軸的交點 (0, b)。
例題
在 y = 3x − 2 中，斜率是 3，y 截距是 −2。直線與 y 軸交於 (0, −2)，每往右走 1，就往上升 3。在 y = −2x + 4 中，斜率是 −2，所以直線每往右走一步就下降 2，並與 y 軸交於 (0, 4)。
教科書 OpenStax College Algebra 2e（英文）把斜率描述為「rise over run」，也就是鉛直方向的變化除以水平方向的變化，並把 y 截距描述為輸入值為零時的點。斜率為正，直線由左往右上升；斜率為負，直線下降；斜率的絕對值越大，直線越陡。
用生活中的例子理解 m 和 b
一根蠟燭高 20 cm，每小時燒掉 2 cm。t 小時後它的高度是 h = −2t + 20。20 是起始值（b），−2 是每小時的變化量（m）。3 小時後蠟燭高 14 cm，10 小時後就燒完了。很多同學覺得，把 b 看成初始值、把 m 看成每一步的變化量，比較容易理解。
怎麼畫出 y = mx + b 的圖形？
畫 y = mx + b 時，先從 y 軸上的點 (0, b) 開始。接著把斜率看成鉛直變化除以水平變化。往右移動水平變化的格數，再往上移動鉛直變化的格數（斜率為負時往下），就得到第二個點。通過這兩點畫一條直線，並往兩端延長。
例題
畫出 y = 2x + 1 的圖形。
- 在 y 軸上標出點 (0, 1)。
- 斜率 2 就是 2/1，所以往右走 1，往上走 2，到達 (1, 3)。
- 通過 (0, 1) 和 (1, 3) 畫直線。
如果斜率是 −2/3，就往右走 3，往下走 2。把分母當作水平移動的格數，就一定會落在格子點上，直線也比較容易畫準確。
怎麼把一般式化成斜截式？
要把像 2x + 3y = 6 這樣的方程式化成斜截式，就把它解出 y。先把含 x 的項移到等號另一邊，再把每一項都除以 y 前面的係數。這時 x 前面的數就是斜率，單獨的常數就是 y 截距。
例題
把 2x + 3y = 6 化成斜截式。
- 兩邊同減 2x：3y = −2x + 6
- 每一項都除以 3：y = −2/3x + 2
斜率是 −2/3，y 截距是 2。常見的失誤是直接從 2x + 3y = 6 讀出斜率是 2。只有當 y 單獨在等號一邊時，這些數才代表斜率和截距。
點斜式還是斜截式？
點斜式 y − y₁ = m(x − x₁) 適合已知一個點和斜率的情況，因為可以馬上寫出來。對於點 (1, 5) 和斜率 2，得到 y − 5 = 2(x − 1)。展開並化簡，y = 2x − 2 + 5，又回到 y = 2x + 3。兩種形式描述的是同一條直線。
哪些直線不能寫成斜截式？
鉛直線不能寫成斜截式。鉛直線上所有點的 x 都相同，所以水平變化是 0，求斜率就得除以零。因此鉛直線的斜率不存在。通過 x = 3 的鉛直線直接寫成 x = 3。
例題
點 (3, 1) 和 (3, 6) 在同一條鉛直線上。斜率會是 (6 − 1) ÷ (3 − 3) = 5 ÷ 0，沒有意義。所以這條直線是 x = 3。而且鉛直線除非本身就是 y 軸，否則永遠不會和 y 軸相交，所以也沒有 y 截距可以填入 b。
水平線沒有問題。點 (−1, 4) 和 (5, 4) 得出斜率 0 ÷ 6 = 0，所以直線是 y = 0x + 4，也就是 y = 4。
斜截式最常見的錯誤有哪些？
斜截式的大多數錯誤是小失誤，而不是觀念不懂。同學會把點的坐標弄反，在斜率公式的分子和分母用不同的順序相減，或是還沒把 y 單獨移到一邊就讀出 m 和 b。用一個已知點驗算最後的方程式，幾乎能抓出所有這些錯誤。
每種失誤的快速對策
下面是一再出現的失誤，以及每一種的快速對策。
- 把點的 x 和 y 弄混。(5, 7) 表示 x = 5，y = 7。讀的時候默念「先橫後直」。
- 改變相減的順序。分子算 9 − 5，分母就要算 3 − 1，兩次都把同一個點放在前面。
- 把 m 和 b 弄混。在 y = 4 + 3x 中斜率還是 3，因為 m 是 x 前面的係數，不管它寫在哪裡。
- 漏掉負號。在 y = −x + 2 中斜率是 −1，不是 1。
- 以為分數一定是錯的。3/4 或 −2/3 這樣的斜率和 2 一樣有效。
多練習斜截式，直到駕輕就熟
要快速讀懂直線，就要多看直線。在線型函數遊戲中，每次攻擊都是一題和直線有關的問題，你可以大量練習辨認斜率和截距，卻一點也不像在寫作業。
解出 b 其實也只是一個一步就能解的小方程式。如果你卡在這一步，方程式遊戲是很好的暖身。
不同國家用的字母不一樣。臺灣的課本和英語國家一樣寫成 y = mx + b，中國大陸則寫成 y = kx + b。法國和波蘭寫成 y = ax + b，瑞典寫成 y = kx + m，義大利寫成 y = mx + q。不管用什麼字母，x 前面的數永遠是斜率，單獨的常數代表直線與 y 軸相交的位置。
兩個數就能描述任何一條非鉛直的直線
任何一條不是鉛直線的直線都能寫成 y = mx + b，所以兩個數就足以完整描述它。斜率告訴你它有多陡、往哪個方向，y 截距告訴你它從哪裡開始。求出這兩個數，再用一個點驗算方程式，其餘的就水到渠成了。