圓柱的體積怎麼算？
要計算圓柱的體積，先把圓形底面的半徑平方，再乘以π（約等於3.14），最後乘以高。這就是公式V = πr²h。答案要用立方單位表示，例如cm³或m³，因為體積量的是立體內部空間的大小，而不是長度或面積。
例題
求半徑3 cm、高10 cm的圓柱體積。
- 把半徑平方。3 × 3 = 9
- 乘以π，得到底面積。9 × π ≈ 28.27 cm²
- 乘以高。9π × 10 = 90π
- 加上立方單位。體積約為282.74 cm³
也可以把答案寫成90π cm³。這種精確的寫法不需要取近似值，在國中以後很常見。
最常見的錯誤是把半徑乘以2，而不是平方。半徑是3 cm時，3 × 2 = 6，但3² = 9。另一個錯誤是把高也平方了。只有半徑要平方，因為只有底面是圓形。
為什麼圓柱的體積是πr²h？
圓柱就像一疊硬幣，是由許多相同的圓疊起來的。每個圓的面積都是πr²，疊起來的高度是h。所以圓柱的體積等於底面積乘以高。角柱也遵守同樣的規則，V = 底面積 × 高。
例題
想像一疊又薄又圓的餅乾，每片的面積是20 cm²。如果這疊餅乾高5 cm，就占了20 × 5 = 100 cm³的空間。底面積20 cm²、高5 cm的圓柱，體積也一樣。
這個想法也能說明圓柱形狀改變時會發生什麼事。高變成原來的2倍，層數就變成2倍，所以體積也變成2倍。半徑變成原來的2倍，因為半徑要平方，每一層都會變成原來的4倍，所以體積變成原來的4倍。
圓柱和另外兩種圓形立體之間也有很整齊的關係。和圓柱底面相同、高也相同的圓錐，體積剛好是圓柱的三分之一。剛好放進圓柱裡的球，體積是圓柱的三分之二。根據大英百科全書，阿基米德對這個結果非常自豪，還要求把它刻在自己的墓碑上。
怎麼用直徑求圓柱的體積？
用直徑求體積時，先把直徑除以2得到半徑，再用V = πr²h計算。直徑是通過圓心、橫跨圓形底面的距離，所以是半徑的2倍。如果一步算完，公式是V = πd²h ÷ 4，答案完全相同。
例題
一個罐頭的直徑是8 cm，高是12 cm。把直徑除以2，得到半徑4 cm。接著4² × π × 12 = 192π ≈ 603.19 cm³。
用一步算完的公式，8² = 64，接著64 × π × 12 ÷ 4 = 192π ≈ 603.19 cm³。兩種方法的結果相同。
把直徑直接代入πr²h是很常見的錯誤。以上面的罐頭來算，會得到64 × π × 12 ≈ 2,412.74 cm³，大了4倍。如果答案看起來大得出奇，檢查一下有沒有先把直徑除以2。
怎麼把圓柱的體積換算成公升？
要把圓柱的體積換算成公升，先算出以立方公分為單位的體積，再除以1,000，因為1公升等於1,000 cm³。如果體積的單位是立方公尺，就改成乘以1,000，因為1 m³等於1,000公升。開始計算前，要確定所有數據都用同一種單位。
例題
一個玻璃杯從內側量，直徑是7 cm，高是10 cm。
- 求半徑。7 ÷ 2 = 3.5 cm
- 求體積。3.5² × π × 10 ≈ 384.85 cm³
- 換算成公升。384.85 ÷ 1,000 ≈ 0.38公升，也就是約385毫升
再舉一個大一點的例子。一個水塔的半徑是0.5 m，高是1.2 m。它的體積是0.5² × π × 1.2 ≈ 0.94 m³。乘以1,000，這個水塔大約可以裝942公升。
常見的問題是單位不一致，例如半徑用公分，高卻用公尺。先把所有數據換算成同一種單位。多玩幾輪單位換算，在cm³、m³、毫升和公升之間換算就會快很多。
怎麼用體積求圓柱的高或半徑？
求高時，把體積除以底面積，也就是h = V ÷ (πr²)。求半徑時，把體積除以π和高的乘積，再開平方根，也就是r = √(V ÷ (πh))。這兩個公式其實都是把V = πr²h一步一步倒過來算。
例題
一個圓柱形水壺要能裝1公升，也就是1,000 cm³，它的半徑是5 cm。它的高必須是1,000 ÷ (π × 5²) = 1,000 ÷ 78.54 ≈ 12.73 cm。
再反過來算。一個高10 cm的圓柱可以裝500 cm³。它的半徑是√(500 ÷ (π × 10)) = √15.92 ≈ 3.99 cm。
要檢查答案，就把數字代回V = πr²h。以水壺為例，π × 5² × 12.73 ≈ 1,000 cm³，所以高是對的。
用不同的數字常常練習，公式就會記得最牢。在幾何遊戲裡，對戰中的每一次攻擊都是一道圖形題，所以能很快想起πr²h，就成了贏得一輪的關鍵。遊戲中π以3計算，所以每個答案都是能用心算算出來的整數。短時間、多次練習比一次長時間練習效果更好。
中空圓柱的體積怎麼求？
中空圓柱，例如一根水管，就是從一個大圓柱中間挖掉一個小圓柱。先求外面大圓柱的體積，再減去中間空洞的體積，剩下的就是材料的體積。寫成公式就是V = π(R² − r²)h，其中R是外半徑，r是內半徑。
例題
一根水管長100 cm，外半徑是5 cm，內半徑是4 cm。
- 把兩個半徑分別平方。5² = 25，4² = 16
- 相減。25 − 16 = 9
- 乘以π和長度。9 × π × 100 = 900π ≈ 2,827.43 cm³
常見的錯誤是先把兩個半徑相減再平方。這樣會得到(5 − 4)² × π × 100 = 100π ≈ 314.16 cm³，小了太多。要先把每個半徑平方，再相減。
先求底面積，再乘以高
所有圓柱體積的題目都可以歸納成同樣的兩個步驟。先求圓形底面的面積，再乘以高。用下面的清單選出正確的起點。
- 已知半徑r和高h：V = πr²h
- 已知直徑d：r = d ÷ 2，或V = πd²h ÷ 4
- 求高：h = V ÷ (πr²)
- 求半徑：r = √(V ÷ (πh))
- 中空圓柱：V = π(R² − r²)h
- 公升：cm³ ÷ 1,000，或m³ × 1,000
答案要用立方單位表示，等體積算對了，最後再換算成公升。