數線上的整數
在數線上，從 0 開始往前或往後一個一個數，每次停下來的那些等距離的點就是整數。像 1/2、3.5 或 √2 這樣的數落在它們中間的空隙裡，所以不是整數。下面來看看怎麼分辨整數、為什麼 0 也是整數，以及整數的正負號規則到底是怎麼回事。
怎麼判斷一個數是不是整數？
如果一個數不用分數、也不用小數就能寫出來，它就是整數。整數可以是正數、負數或 0。教科書 OpenStax Prealgebra 2e（英文） 說得很簡單，整數就是我們數數用的數、它們的相反數和 0。所以 7、−7 和 0 都是整數，而 7.5 不是。
例子
試著快速判斷看看。
- −12 是整數，因為它是 12 的相反數。
- 0 是整數。
- 3.5 不是整數，因為它有小數部分。
- 1/2 不是整數。
- 8/2 是整數，因為 8/2 = 4。
- √9 是整數，因為 √9 = 3。
- √2 不是整數，因為它大約等於 1.41。
最後幾個例子說明了一個好習慣：先算出值，再下結論。一個數看起來像分數或根號，結果卻可能是整數。
0 是整數嗎？
是的，0 是整數。它位在數線的中間，在負整數和正整數之間。0 既不是正數也不是負數，OpenStax 也明確這麼說。不過 0 是偶數，因為 0 = 2 × 0，也就是說 0 除以 2 沒有餘數。
負數是整數嗎？
只有沒有分數部分和小數部分的負數才是整數。−5 和 −100 是整數。−2.5 和 −3/4 是負數，但不是整數。不管一個數是正是負，都可以用同樣的方法判斷。
整數和自然數有什麼不同？
在台灣的國中小課本裡，自然數通常就是正整數 1、2、3 等等，不包含 0，也不包含負數。整數則包含所有正整數、再加上 0 和負整數 −1、−2、−3 等等。所以 −4 是整數，但不是自然數。有些書（例如中國大陸的課本）把 0 也算進自然數，所以最好看一下孩子課本用的是哪一種定義。
例子
下面是幾個主要數的群組之間的包含關係。
- 正整數（自然數）：1、2、3、4、…
- 非負整數：0、1、2、3、4、…
- 整數：…、−3、−2、−1、0、1、2、3、…
- 有理數：所有能寫成兩個整數相除的分數的數，例如 1/2、−3/4 和 7（也就是 7/1）
數學上用 ℤ 表示整數的集合。這個字母來自德文單字 Zahlen，意思是「數」。自然數的集合則用 ℕ 表示。就像前面說的，連自然數都有一點小分歧，有些書從 0 開始，有些從 1 開始。
生活中哪裡看得到整數？
只要從一個零點往上、往下數，就會用到整數。零下的氣溫、地下樓層、海平面以下的深度，還有足球隊的淨勝球，都是可能為負的整數。在這些情況下，0 都是一個參考點，而不是「什麼都沒有」。
例子
早上氣溫是 −4 °C，到中午升高了 7 度。從 −4 開始，在數線上往上數 7 步：−3、−2、−1、0、1、2、3。中午的氣溫是 3 °C，所以 −4 + 7 = 3。
一隻海鷗在海面上方 5 公尺處飛，一位潛水員在海面下 2 公尺處游，也就是 −2 公尺。他們之間相距 7 公尺，因為 5 − (−2) = 7。
整數怎麼加減？
做整數加法時，可以想像一條數線。加上一個正數就往右移動，加上一個負數就往左移動。減法和加法相反，所以減去一個負數就往右移動。這就是為什麼減去一個負數，結果反而變大。
例子
計算 −3 + 5。從 −3 開始，往右走 5 步。你會經過 −2、−1、0 和 1，最後停在 2。所以 −3 + 5 = 2。
再試幾題。
- −6 + 2 = −4，因為從 −6 往右走 2 步就到 −4。
- −2 − 5 = −7，因為從 −2 往左走 5 步就到 −7。
- 4 − (−3) = 7，因為減去 −3 就等於加上 3。
為什麼減去一個負數結果會變大？
減法問的是「相差多少」。在數線上，4 和 −3 相差 7 步，所以 4 − (−3) = 7。OpenStax 把一般規則寫成 a − (−b) = a + b。很多孩子做 −5 + 4 時會卡住，因為看到加號就以為結果會變大。從 −5 開始往右走 4 步，就能看出結果是 −1。
為什麼負負得正？
兩個整數相乘，同號得正，異號得負。負數乘以負數會得到正數，是因為一個規律。第一個數每減少 1，結果就變化同樣的量，而只有結果變成正數，這個規律才能繼續下去。
例子
看看第一個數每次減少 1 時，3 × (−2) 會怎麼變化。
- 3 × (−2) = −6
- 2 × (−2) = −4
- 1 × (−2) = −2
- 0 × (−2) = 0
- (−1) × (−2) = 2
- (−2) × (−2) = 4
每個結果都比前一個大 2。要讓這個規律在越過 0 之後繼續成立，(−1) × (−2) 就必須等於 2。也可以這樣想：乘以 −1 就是在數線上向後轉。轉兩次，你又面向原來的方向了。
整數除法也遵守同樣的正負號規則嗎？
是的。(−12) ÷ 3 = −4，(−12) ÷ (−3) = 4，一樣是同號得正、異號得負。不過有一點不同。兩個整數相加、相減或相乘，結果一定是整數，但相除就不一定了。8 ÷ 2 = 4 是整數，而 7 ÷ 2 = 3.5 不是。
怎麼讓整數運算變快？
整數運算要快，就要多做簡短的小題目，直到數線印在腦海裡。在負數遊戲裡，每次攻擊都是一道快速的負數計算題，孩子們一心想打贏對手，不知不覺就把正負號規則練熟了。
在上面這一回合裡，減去 −17 就等於加上 17，所以 −1 − (−17) = −1 + 17 = 16。
一個數到 0 的距離叫做它的絕對值，所以 −5 的絕對值是 5。這是大多數學生學完整數之後接著要學的內容，絕對值遊戲把它變成一連串快速的回合。
整數就是往前或往後數都能數到的數
每個整數都是從 0 開始數可以到達的一步，正數往右，負數往左。0 在中間，也屬於整數。如果孩子能在腦中想像出這條數線，加法、減法和乘法的規則就不再是要硬背的規定，而是開始變得合情合理。