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高斯消去法遊戲
這裡的高斯消去一次只問一個數：一次列運算後留下的元素、從階梯形讀出的未知數，或整個矩陣的秩。對手看到的是同一個矩陣，你算得越乾淨，你的鬥士就越早出手。
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什麼是高斯消去法？
高斯消去法是解線性方程組的一種方法：把方程組的係數排成表格，也就是矩陣，再一列一列地整理。可以交換兩列、把一列乘上一個數，或從一列減去另一列的幾倍。一步一步地，階梯下方堆滿了0，最後由下往上讀出答案。
例題：對[ 1 2 4 8 ; 5 4 6 7 ; 5 4 5 8 ]做R₂ − 5·R₁
- 題目問a₂₂，也就是做完R₂ − 5·R₁後第2列第2行的新元素。
- 在這一行裡，第2列是4，第1列是2。
- 減去第1列元素的5倍：4 − 5 × 2 = 4 − 10 = −6。
- 新元素是−6，所以要連同負號一起輸入。
一步一步學
高斯消去法一次整理矩陣的一列。它最常用的動作是：拿一列，減去另一列的幾倍。寫成 R₂ − 3·R₁，意思是：新的第 2 列 = 第 2 列減去 3 乘第 1 列。
你要一個元素一個元素、一行一行地做。要找出第 2 列第 3 行的新元素，就拿第 2 列在第 3 行原本的元素，減去 3 乘第 1 列在第 3 行的元素。如果它們是 7 和 4，新元素就是 7 − 3 × 4 = 7 − 12 = −5。k 是挑來讓這一列的第一個元素變成 0 的 — 這就是這個動作的目的 — 但你只需要算題目指定的那一個元素。
找出題目問的那一行裡的兩個元素，把上面那個乘以 k，相減，輸入新元素。
小提示與常見錯誤
- 把a₃₂當成電影院的座位來讀：先看排，再看座號。第3列第2行，絕不能反過來。
- 常見錯誤是兩列都改了。R₂ − 5·R₁只改寫第2列，第1列保持原樣，只是把它的數借出去。
- 在紙上寫一個小方程組，例如x + y = 5和x − y = 1，比比看誰先消去x再求出y。
怎麼玩
每回合畫面上會出現一個矩陣和一個問題：一次列運算及它改變的元素、三角方程組裡的一個未知數，或一個秩。搶在對手之前用鍵盤輸入數字，大蒜就會命中，答得越快打得越重。答錯會讓你短暫暈眩。
— 快問快答 —
高斯消去法：精簡 FAQ
- 什麼是倒代？
- 倒代是從最後一個方程式開始往上解三角方程組的方法。最下面一列只有一個未知數，所以先解它。把這個值代入上面一列，那一列也只剩一個未知數，就這樣一路解到最上面。如果最後一列是2x₄ = 10，那麼x₄ = 5，上一列就用這個5繼續算。
- 矩陣的秩要怎麼求？
- 求矩陣的秩，就是用基本列運算把它化成階梯形，再數一數不全為0的列有幾列。變成全0的列原本是其他列的組合，沒有帶來新的資訊。第三列等於前兩列之和的3×3矩陣，秩是2。
- 為什麼做列運算時總是算錯符號？
- 做列運算時符號出錯，幾乎都發生在減去一個負數元素的時候。如果第1列是−3，運算是R₂ − 2·R₁，你要減去2 × (−3) = −6，也就是加上6。減之前先把乘積連同符號寫進括號裡，錯誤就會消失。
- 高斯消去法通常幾歲學？
- 在許多教育體系中，高斯消去法出現在大學第一門線性代數課，也有些高中會用3×3方程組來介紹它。在這裡，各關卡適合16到18歲的學習者。只要熟悉負數和簡單方程式，任何人都能從第一關開始。
- 這個列運算遊戲免費嗎？全班能一起玩嗎？
- 可以，在筆電、平板或手機的任何瀏覽器上都免費，不需要安裝任何東西。練習基本列運算時，可以給每組一個3×3方程組，讓他們一邊消去一邊大聲報出每個新元素。最先得到乾淨階梯形的小組向全班說明自己的步驟。按學生計價的學校方案還提供教師儀表板，看得出誰越來越快。