圆的面积怎么算？
计算圆的面积，先把半径平方，再把结果乘圆周率π。半径是从圆心到圆上任意一点的距离，π约等于3.14。答案要写成面积单位，比如cm²或m²，因为面积量的是一个面的大小，而不是长度。
例题
求半径是5 cm的圆的面积。
- 把半径平方。5 × 5 = 25
- 乘π。25 × π ≈ 78.54
- 写上面积单位。面积约是78.54 cm²
也可以把答案保留为25π cm²。这种精确写法到了高年级很常见，因为不用取近似值。
用3.14还是计算器上的π键？
两种都可以，只要按照老师或题目的要求来做。π是无理数，它的小数部分无限不循环，大英百科全书的介绍里也这样说明。用3.14计算得25 × 3.14 = 78.5 cm²，用π键得78.54 cm²。这点小差别只是因为π取了近似值。
使用公式时的常见错误
最常见的错误是把半径乘2，而不是平方。半径是5 cm时，5 × 2 = 10，但5² = 25。另一个错误是先把π和半径相乘，再把整个结果平方。根据运算顺序，乘方要先算，所以要先把半径平方，再乘π。
已知直径怎么求圆的面积？
已知直径求面积，先把直径除以2得到半径，再用A = πr²。直径穿过圆心，从圆的一边连到另一边，所以是半径的2倍。如果想一步算出，公式是A = πd² ÷ 4，结果完全一样。
例题
一个圆的直径是10 cm。除以2得到半径5 cm。然后5² × π = 25π ≈ 78.54 cm²。
用一步公式，10² = 100，再算100 × π ÷ 4 = 25π ≈ 78.54 cm²。两种方法结果相同。
一个很常见的错误是直接把直径代入πr²。用10 cm算会得到100π ≈ 314.16 cm²，大了整整4倍。如果答案大得出乎意料，就检查一下是不是不小心用了直径。
已知周长怎么求圆的面积？
已知周长求面积，先用周长除以2π求出半径，再用A = πr²。圆的周长是绕圆一周的长度，等于2πr。如果想一步算出，公式是A = C² ÷ (4π)，其中C是周长。
例题
一个圆形花坛的周长是30 m。求它的面积。
- 求半径。30 ÷ (2 × π) ≈ 4.77 m
- 求面积。计算器里保留半径的完整数值。π × 4.7746² ≈ 71.6 m²
- 用一步公式验算。30² ÷ (4 × π) = 900 ÷ 12.566 ≈ 71.6 m²
如果先把半径取近似值4.77，得到的是π × 4.77² ≈ 71.5 m²。正因为有这点小差距，最好只在最后一步取近似值。
为什么圆的面积是πr²？
把一个圆像切比萨一样平均分成很多小块，再一正一反地排成一行。这些小块会拼成一个近似长方形的图形。它的高是半径r，长是周长的一半πr。所以它的面积是πr × r，也就是πr²。
例题
想象把半径5 cm的圆平均分成16块。一半尖朝上，一半尖朝下。这一行的长等于周长的一半，π × 5 ≈ 15.7 cm，高等于半径5 cm。所以面积约是15.7 × 5 ≈ 78.5 cm²，和公式的结果一致。
只分16块时，边缘还有一点波浪形。分成100块或1000块时，图形就越来越接近一个真正的长方形。这就是公式背后的道理，比只背公式容易记得多。
古希腊数学家阿基米德在2000多年前就研究过这个问题。大英百科全书介绍了他怎样证明圆的面积除以半径的平方总是同一个数，以及他怎样用圆内和圆外的多边形证明π在223/71和22/7之间。
快速检查答案的方法
一个圆正好能放进边长等于直径的正方形里。这个正方形的面积是2r × 2r = 4r²。圆占正方形的四分之三多一点，约78.5%，因为π ÷ 4 ≈ 0.785。所以，如果半径5 cm的圆放在边长10 cm、面积100 cm²的正方形里，它的面积应该比80 cm²小一点。实际是78.54 cm²。
公式要经常用、换不同的数来用，才记得最牢。在几何游戏里，对战中的每次攻击都是一道图形题，所以能快速想起πr²就成了赢下一回合的关键。游戏中π按3计算，所以每个答案都是可以心算的整数。时间短、次数多的练习比一次练很久效果更好。
已知面积怎么求半径？
已知面积求半径，就把公式倒过来用。先用面积除以π，再求结果的平方根。写成公式就是r = √(A ÷ π)。如果需要直径，就把半径乘2。
例题
一个圆的面积是50 cm²。除以π。50 ÷ π ≈ 15.92。再求平方根。√15.92 ≈ 3.99，所以半径约是3.99 cm，直径约是7.98 cm。
验算时，把半径代回公式。π × 3.99² ≈ 50.0 cm²。如果平方根有点生疏，玩几回合平方根，这一步就会快很多。
一个大比萨比两个小比萨大吗？
通常是的。因为半径要平方，圆的直径扩大到2倍，面积就扩大到4倍。直径30 cm的比萨面积约707 cm²。两个直径20 cm的比萨加起来约628 cm²，所以一个大比萨更多。
例题
30 cm的比萨半径是15 cm，面积是π × 15² ≈ 706.9 cm²。一个20 cm的比萨半径是10 cm，面积是π × 10² ≈ 314.2 cm²。两个加起来约628.3 cm²，比一个大比萨少约79 cm²。
这样的比较很适合用来让孩子明白为什么平方很重要。一个只宽一点点的圆，覆盖的面积却大得多。
半圆的面积是多少？
半圆是圆的一半，所以面积是πr²的一半，即πr² ÷ 2。半径5 cm的半圆，面积是25π ÷ 2 ≈ 39.27 cm²。记住要用半径，而不是直边的长度，因为直边是直径。
先求半径，其余就容易了
几乎所有圆的面积题，只要知道半径就容易了。用下面的清单选对第一步。
- 已知半径r：A = πr²
- 已知直径d：r = d ÷ 2，或A = πd² ÷ 4
- 已知周长C：r = C ÷ (2π)，或A = C² ÷ (4π)
- 已知面积求半径：r = √(A ÷ π)
- 半圆：A = πr² ÷ 2
最后把单位写成面积单位，再用正方形检查一下答案的大小是否差不多。