斐波那契数列是怎么构成的？
要写出斐波那契数列，先写下0和1，然后把最后两个数相加得到下一个数，再不断重复这一步。每个新数只取决于它前面的两个数，所以这个数列可以一直写下去。用这种方法写出的数叫作斐波那契数。
例子
一步一步写出这个数列。从0和1开始。
- 0 + 1 = 1
- 1 + 1 = 2
- 1 + 2 = 3
- 2 + 3 = 5
- 3 + 5 = 8
- 5 + 8 = 13
- 8 + 13 = 21
每个新数只需要最后两个数。数字增长得很快，但规则从不改变，所以这是孩子练习心算加法的好题目。这个规则简单到小孩子都能懂，可同样的数却出现在向日葵、松果和黄金分割中。
数列从0开始还是从1开始？
两种写法都很常见。很多书从0, 1, 1, 2, 3开始，也有一些书从1, 1, 2, 3开始。无论哪种写法，后面的数都一样。数学家通常把规则写成Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂，其中F₀ = 0,F₁ = 1，意思是“每一项都等于前两项之和”。
数列中隐藏的规律
这个数列里藏着一些孩子喜欢寻找的小规律。每隔三个数就有一个偶数（0, 2, 8, 34, 144, 610），其余的数都是奇数。每隔五个数就有一个能被5整除的数（0, 5, 55, 610）。让孩子沿着数列往后检查这些规律是否成立。这是一种既能练习加法、又能发现结构的有趣方法。
斐波那契数列是从哪里来的？
这个数列以意大利数学家比萨的列奥纳多命名，他更为人熟知的名字是斐波那契。他在1202年写成的《Liber abaci》一书中，通过一道关于兔子的趣题介绍了这个数列。据大英百科全书介绍，这是欧洲已知最早的递推数列，也就是说，每一项都由前面的项得出。
例子
兔子问题是这样的。一开始有一对刚出生的兔子。一对兔子需要一个月长大，从那以后，每对成年兔子每个月都会生下一对新兔子。兔子不会离开。在每个月月初数一数有多少对兔子。
- 第1个月：1对（刚出生）
- 第2个月：1对（已经长大）
- 第3个月：2对（成年兔子和它们的第一对小兔）
- 第4个月：3对
- 第5个月：5对
- 第6个月：8对
每个月的总数等于上个月的总数加上成年兔子的对数，而成年兔子的对数正好等于两个月前的总数。这就是斐波那契的规则。当然，真实的兔子不会这么整齐地繁殖。这道题是用来描述规律的，并不是在研究动物。
怎样求斐波那契数列的下一个数？
要求下一个斐波那契数，就把数列中最后两个数相加。21和34后面是21 + 34 = 55,34和55后面是89。如果要求数列中很靠后的一个数，可以一直把数列写下去，也可以用比内公式，它借助黄金分割比直接算出任意一项。
例子
以F₀ = 0为起点，求第10个斐波那契数。把数列写出来是0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55，所以F₁₀ = 55。
用比内公式不写数列也能得到同样的答案。把黄金分割比φ（约1.618）乘10次方，再除以√5。结果约为122.99 ÷ 2.236 ≈ 55.004，四舍五入到最接近的整数就是55。对于年龄大一些的学生来说，这是个惊喜：一个由平方根构成的数，每次都会非常接近一个整数。
找出一串数背后的规则，这种能力远远不止用在斐波那契数列上。数列游戏把它变成了一场战斗，每次攻击都是一个数列，你要找出缺少的那个数。这是一种快速练习的方法，不用动笔就能看出像“把最后两个数相加”这样的规律。
斐波那契数列和黄金分割有什么关系？
用每个斐波那契数除以它前面的那个数，得到的结果会越来越接近黄金分割比，约等于1.618。例如，8 ÷ 5 = 1.6,13 ÷ 8 = 1.625,89 ÷ 55 ≈ 1.618。黄金分割比本身是(1 + √5) ÷ 2，它是一个小数部分无限不循环的数。
例子
看看随着数越来越大，比值是怎样逐渐稳定下来的。
- 3 ÷ 2 = 1.5
- 5 ÷ 3 ≈ 1.667
- 8 ÷ 5 = 1.6
- 13 ÷ 8 = 1.625
- 21 ÷ 13 ≈ 1.615
- 34 ÷ 21 ≈ 1.619
- 55 ÷ 34 ≈ 1.618
这些结果在1.618上下来回跳动，而且一次比一次更接近。大英百科全书提到，数学家罗伯特·西姆森在1753年描述了这种联系。
什么是斐波那契螺旋线？
先画一个边长为1的正方形，在旁边再画一个边长为1的正方形，然后依次画边长为2、3、5、8的正方形，每个正方形都贴着已经拼成的长方形摆放。用四分之一圆弧连接每个正方形的两个对角，就得到了斐波那契螺旋线。它和黄金螺旋线非常接近，黄金螺旋线每转四分之一圈就按黄金分割比放大一次。
斐波那契数列在自然界的哪些地方出现？
斐波那契数经常出现在植物中。向日葵的种子排成两组螺旋线，每个方向的螺旋线条数通常是一对相邻的斐波那契数，比如34和55，或者55和89。松果上也有类似的螺旋线，很多花有3、5、8、13或21片花瓣。
例子
拿一个松果或者一张向日葵的照片，数一数顺时针方向弯曲的螺旋线。再数一数朝另一个方向弯曲的螺旋线。萨里大学罗恩·诺特博士关于自然界中斐波那契数的网页展示了一个方向有55条、另一个方向有34条螺旋线的向日葵，还有更大的、分别有89条和55条的向日葵。
同一组网页还按花瓣数列出了一些花，比如飞燕草有8片，千里光和一些雏菊有13片，紫菀有21片。和孩子一起数一数是很好的动手活动，能让孩子看到数字描述的正是身边真实的事物。
植物为什么会长成斐波那契螺旋？
很多植物在长出每一粒新种子或每一片新叶子时，都会相对上一个转过大致相同的角度，约137.5°。这个角度和黄金分割有关，能让种子排列得紧密而不留空隙，我们能数出的螺旋线，正是这种稳定旋转带来的结果。罗恩·诺特指南的第二部分解释了这个角度为什么这么有效。
斐波那契数列真的在自然界无处不在吗？
不是。斐波那契数在植物中很常见，但它并不是自然法则。罗恩·诺特在萨里大学的网页上指出，花瓣或花盘上并不总能找到斐波那契数，有些花，比如倒挂金钟，只有4片花瓣。网上的很多说法，尤其是关于贝壳、人脸和著名建筑的说法，都把证据夸大了。
例子
鹦鹉螺的壳常常被画上一条黄金螺旋线来展示。鹦鹉螺的壳确实是按对数螺线生长的，这种曲线在变大时保持形状不变。但诺特的网页指出，它的生长比例并不固定，可能并不是黄金分割比，把它称为黄金螺旋线是不正确的。所以，鹦鹉螺是一条美丽的螺线，但并不能证明斐波那契数列的存在。
这对大一点的孩子来说也是很有用的一课。经常出现的规律值得注意，但诚实的问题永远是“出现得有多频繁，又有多接近？”去数一数真实松果上的螺旋线，比看网上的任何图片都更能说明问题。
两个起始数和一条规则就能构成整个数列
每个斐波那契数都来自同一个步骤，也就是把它前面的两个数相加。下面是从F₀ = 0开始的前21项，你可以用来核对自己写的数列。
- 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
- 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987
- 1597, 2584, 4181, 6765
如果孩子算乱了，就回到他们确定无误的最后两个数，重新相加。规则从不改变，所以一个错误总是很容易改正。
接着练这些