如果你觉得这不对劲，别担心，很多人都这么想。成千上万的人，其中不乏博士，一开始都不肯相信。下面先介绍这个谜题，再从几个不同的角度说明为什么换门更划算。总有一种说法能让你恍然大悟。
蒙提霍尔问题是怎么回事？
你在参加一档电视游戏节目，面前有三扇关着的门。一扇门后面是汽车，另外两扇后面是山羊。你选了一扇门。主持人知道汽车在哪儿，他打开另外两扇门中的一扇，让你看到一只山羊。然后他问你，是坚持原来的门，还是换到剩下的那扇关着的门。
大多数人会耸耸肩说，无所谓。只剩两扇门了，肯定是五五开。其实不是。换门的话，3次里有2次能赢到汽车。
这个谜题以蒙提·霍尔的名字命名，他是电视游戏节目 Let's Make a Deal 的主持人。在中文里，它也常被叫作“三门问题”。这个著名的答案取决于三条规则。
- 主持人总是打开一扇你没选的门。
- 主持人总是让你看到山羊，从不打开有汽车的门。
- 主持人总是给你换门的机会。
为什么换门3次里能赢2次？
你第一次选错的情况，3次里有2次。每次选错时，主持人都别无选择。他只能打开另一扇山羊门，于是汽车就留在你可以换过去的那扇门后面。所以只要你第一次猜错，换门就一定赢；只有你一开始恰好选中汽车时，换门才会输。
例子
假设你总是选1号门。汽车只可能在三个位置，每种情况的可能性都一样。
- 汽车在1号门后面。主持人打开2号门或3号门。不换就赢，换门就输。
- 汽车在2号门后面。主持人只能打开3号门。不换就输，换门就赢。
- 汽车在3号门后面。主持人只能打开2号门。不换就输，换门就赢。
数一数。不换赢1次，换门赢2次。不管你一开始选哪扇门，结果都一样。
还可以换个方式想。你的门一开始有三分之一的机会，另外两扇门共同拥有剩下的三分之二。主持人打开其中一扇时，汽车并没有移动。他只是告诉你，这两扇门里现在是哪一扇独占了这三分之二。
只剩两扇门了，为什么不是五五开？
因为主持人不是随便开门的。他知道汽车在哪儿，并且总是避开它，所以他留着没开的那扇门，是根据这个信息挑出来的。你自己的门是盲选的，仍然只有三分之一的机会。另一扇关着的门得到剩下的三分之二。
《科学美国人》上一篇讨论这个谜题的文章把这种错误归因于心理学家所说的“等概率偏差”。我们往往会默认，摆在眼前的几种结果发生的可能性都一样。两扇门看起来就像抛硬币，于是我们就不再往下想了。
另一个陷阱是，主持人的动作看起来什么也没告诉你。实际上，它透露了很多。只要你的门后是山羊，主持人就不得不让汽车那扇门关着。这个“不得不”的选择，就是隐藏的信息。
换成100扇门会更容易理解吗？
对很多人来说，会的。想象有100扇门，只有一辆汽车。你选了一扇，知道汽车位置的主持人打开其余门中的98扇，露出98只山羊。只剩一扇门还关着。你的门只有百分之一的机会。主持人特意跳过的那扇门，现在拥有剩下的百分之九十九。
例子
你选了37号门。主持人把1号到100号门全部打开，只留下37号和82号。你真的认为自己随手一选就选中了吗？更有可能的是，他跳过82号门，正是因为汽车就在它后面。
让这个谜题出名的玛丽莲·沃斯·莎凡特，用过一个更大的版本，有100万扇门。三扇门时道理一样，只是更难凭感觉体会。如果100扇门也帮不了你，那就试着从“选错”的角度去想。你第一次选错的情况3次里有2次，而换门能把每一次选错都变成赢。
如果主持人不知道汽车在哪儿呢？
那换门就没有优势了。如果主持人随便开了一扇门，碰巧是山羊，那么不换和换门都只有一半的机会赢。只有当主持人知道汽车在哪儿、总是打开山羊门、并且总是给你换门机会时，三分之二这个答案才成立。
例子
你选了1号门，一个什么都不知道的主持人随机打开2号门或3号门。有时他会不小心让汽车露出来，这几局就作废了。在出现山羊的那些局里，汽车恰好有一半的时候在你的门后面。
真正的蒙提·霍尔也指出过同样的问题。在1991年的一篇《纽约时报》文章中，他提醒说，如果主持人可以自己决定要不要给换门的机会，参赛者就要当心了。在真实的节目里，这个提议本身可能就是个陷阱。
怎样自己验证蒙提霍尔问题？
你只需要三张扑克牌和一个朋友。一张A代表汽车，另外两张牌代表山羊。朋友把牌背面朝上洗好，你指一张，朋友再翻开一张你没选的山羊牌。玩30局，每次都换。你应该能赢20局左右。
然后再玩30局，每次都不换。这次你应该能赢10局左右。局数这么少，数字会有些波动，但差别很快就能看出来。
就连著名的数学家也需要亲眼看到才信。据《科学美国人》介绍，多产的数学家保罗·埃尔德什也曾被这个谜题难住。所以，如果你还是觉得不对劲，就拿牌来试试吧。
这个谜题真正锻炼的，是公平地数出所有可能情况的能力。概率游戏每一轮问的都是这类问题。比如在下面这场对战中，你要数一数4枚硬币恰好出现1个正面的情况有几种。答案是4种，因为正面可以出现在四枚硬币中的任意一枚上。
为什么这么多人会在蒙提霍尔问题上出错？
两扇关着的门看起来就是五五开的选择，而主持人掌握的隐藏信息很容易被忽略。后悔心理可能也起了作用。从汽车那扇门换走后输掉，比坚持原选择输掉更让人难受，所以很多人即使懂了其中的数学，还是会坚持第一次选的门。
这个谜题最早出现在1975年，来自统计学家史蒂夫·塞尔文写的信。它在1990年出了名，当时玛丽莲·沃斯·莎凡特在《Parade》杂志的 Ask Marilyn 专栏里回答了这个问题，并告诉读者应该换门。据《科学美国人》报道，她收到了估计约1万封来信，说她错了。《纽约时报》还补充说，其中近1000封信的署名者拥有博士学位。
当然，她是对的。这些信如今也成了这个故事的一部分，它们最好地提醒我们，对概率的自信直觉，可能完全是错的。
只要主持人知情且总开山羊门，就换门
在通常的规则下，换门能让你赢的机会翻倍，从三分之一变成三分之二。规则一变，答案也可能跟着变，比如主持人随机开门，或者只在对他有利时才给你换门的机会。这就是超越游戏节目的道理。在相信某个概率之前，先问一问，摆在你面前的信息是怎么被挑选出来的。
接着练这些