怎样按运算顺序一步步计算？
按照运算顺序（英语里叫 PEMDAS），一道算式分四轮来算。先算括号里面的，再算乘方，然后从左到右算乘法和除法，最后从左到右算加法和减法。每算完一轮，就把整行算式重新抄一遍，这样以后哪里出错，一眼就能看出来。
例题
计算 3 + 4 × (6 − 2)² ÷ 8。
- 括号：6 − 2 = 4，算式变成 3 + 4 × 4² ÷ 8
- 乘方：4² = 16，算式变成 3 + 4 × 16 ÷ 8
- 乘除，从左到右：4 × 16 = 64，再算 64 ÷ 8 = 8，算式变成 3 + 8
- 加减：3 + 8 = 11
把算式重新抄一遍，看起来有点慢，但它仍然是防止出错的最好办法。常见的错误是一开始就把 3 和 4 加起来，得到 7，最后的答案就错了。
PEMDAS 里乘法要先于除法吗？
不是。乘法和除法属于同一级，加法和减法也属于同一级。同一级里，只要从左往右算就行。PEMDAS 把 M 写在 D 前面，只是因为一个单词总得给字母排个先后。把这些字母当成严格的先后排名，是运算顺序里最常见的错误之一。
例题
计算 24 ÷ 4 × 2。
- 从左边起，先遇到的是除法：24 ÷ 4 = 6
- 再算乘法：6 × 2 = 12
如果先算乘法，就会得到 24 ÷ 8 = 3，这是错的。加法和减法也一样。在 10 − 4 + 3 里，从左到右算是 6 + 3 = 9。先算加法会得到 10 − 7 = 3，同样是错的。
免费教材 OpenStax Prealgebra 2e 说得很直白。乘法和除法的优先级相同，所以要按从左到右的顺序来算。很多大人已经不记得学校里讲过的这个细节，网上关于数学题的不少争论也是因它而起。
PEMDAS、BODMAS 和 BIDMAS 有什么区别？
规则没有区别，区别只在用词。PEMDAS 以 P（parentheses，括号）开头，BODMAS 和 BIDMAS 则以 B（brackets，也是括号）开头。E（exponents）、O（orders）和 I（indices）指的都是乘方和开方。每个版本都把乘法和除法放在同一级，把加法和减法放在下一级。
例题
分别按每个版本来计算 2 + 3 × 4²。
- 先算乘方：4² = 16
- 再算乘法：3 × 16 = 48
- 最后算加法：2 + 48 = 50
BODMAS 恰好把 D 写在 M 前面，PEMDAS 则把 M 写在 D 前面。这里两者都得 50，而且在任何算式里，两个版本的答案都一样。如果字母顺序总让人糊涂，不妨把规则写成四级，而不是六个字母：括号、乘方、乘或除、加或减。
为什么需要运算顺序？
如果没有约定好的顺序，像 2 + 3 × 4 这样的算式就可能有两种意思。先算加法得 20，先算乘法得 14。按照约定，乘法先算，所以答案是 14。这条规则的意义很简单：每个人看到同一道算式，都能算出同一个结果。
例题
一个朋友买了 3 本笔记本，每本 4 枚硬币，又买了一支笔，花了 2 枚硬币。总共是 2 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14 枚硬币。如果先算加法，就会得到 5 × 4 = 20，好像那支笔买了四次一样。
这个约定比那些缩写早得多。据圣安德鲁斯大学的数学史资料库 MacTutor 介绍，早在 16 世纪最早的符号代数书里，先乘后加减就已经是规则了。同一页面还引用了一位历史学家在 1920 年代末写下的话：对于 ÷ 和 × 谁该先算，当时仍然没有统一意见。
8 ÷ 2(2 + 2) 的答案是多少？
如果按照学校教的运算顺序，8 ÷ 2(2 + 2) 等于 16。先算括号，得 4。紧挨着括号写的 2 表示乘法，而乘法和除法要从左到右算，所以 8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16。
例题
下面把两种理解放在一起看。
- 从左到右：8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16
- 把 2(2 + 2) 看成一个整体：8 ÷ (2 × 4) = 8 ÷ 8 = 1
真正的问题在于算式的写法。伯克利大学数学系网站上的一篇说明指出，这类算式并没有标准的约定，因为把数字紧贴着括号写，会让人觉得两者是一体的。数学家会多加括号来避免争论：(8 ÷ 2)(2 + 2) 或 8 ÷ (2(2 + 2))。
分数线也有同样的分组作用。如果分数线上面写 6 + 4，下面写 2，就要先算加法，答案是 10 ÷ 2 = 5。
运算顺序最常见的错误有哪些？
大多数错误来自把缩写当成六个先后固定的独立步骤。这样一来，人们就会先乘后除，或者先加后减。其他常见的失误还有：忘了分数线会把上面和下面各自分成一组，以及给负数平方时漏掉了括号。每算一步就把算式重抄一遍，大部分错误都能被发现。
反复出现的错误
- 先乘后除。在 24 ÷ 4 × 2 里，要从左到右算：6 × 2 = 12。
- 先加后减。在 10 − 4 + 3 里，要从左到右算：6 + 3 = 9。
- 负数的平方。−3² 表示 −(3²) = −9，而 (−3)² = 9。括号决定了负号要不要一起平方。
- 从外层括号开始算。在 2 × [5 + (3 − 1)²] 里，要从里面算起：3 − 1 = 2，然后 2² = 4，再算 5 + 4 = 9，最后 2 × 9 = 18。
- 忽略分数线。先把分子和分母分别算出来，再相除。
怎样练习运算顺序？
练习这条规则，最好的办法是经常做一些简短的计算。在运算顺序游戏里，每次攻击都是一道混合运算，比如 (5 + 3) × 7。先算括号，再算乘法，输入 56 就能完成攻击。
乘方会让很多人算得慢下来，尤其是遇到负数的时候。如果你卡在这里，可以先试试乘方游戏。之后再算带乘方的长算式，就会轻松很多。
规则的名字取决于你在哪里学。在美国叫 PEMDAS，在英国叫 BODMAS 或 BIDMAS。其他语言有各自的简短说法，但背后的规则在哪里都一样。在中国，课本上的说法是“先乘除，后加减，有括号的先算括号里面的”。
共同的规则让每个人得到同一个答案
运算顺序是一种约定，而不是自然规律，只有大家都用同一个约定，它才管用。先算括号，再算乘方，然后从左到右算乘除，最后从左到右算加减。如果一道算式仍然可能有两种理解，就加上括号，争论自然就结束了。