怎样用点斜式写直线方程？
把斜率代入 k，把已知点的坐标代入 x₁ 和 y₁。x 和 y 保持字母不变，它们代表直线上其他所有的点。已知直线上的一点和斜率时，就用点斜式。
例题
求过点 (2, 3)、斜率为 2 的直线。
- 由点得 x₁ = 2，y₁ = 3。
- 由斜率得 k = 2。
- 代入：y − 3 = 2(x − 2)。
这样就写好了，不需要再化简。想确认的话，可以再验证一个点。从 (2, 3) 向右走 1 格、向上走 2 格，就到了 (3, 5)。把这两个数代进去：左边 5 − 3 = 2，右边 2(3 − 2) = 2。两边相等。
注意，点 (2, 3) 就直接写在方程里。画图时，可以先把笔尖放在这个点上，再从这里画出去。
已知两点，怎样求点斜式方程？
先用 k = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) 求出斜率。然后任选两点中的一个，和斜率一起代入 y − y₁ = k(x − x₁)。选哪个点都可以。得到的方程样子不同，但化简后表示的是同一条直线。
例题
求过点 (1, −2) 和 (4, 7) 的直线。
- 斜率：k = (7 − (−2)) ÷ (4 − 1) = 9 ÷ 3 = 3
- 用 (1, −2)：y − (−2) = 3(x − 1)，即 y + 2 = 3(x − 1)
- 用 (4, 7)：y − 7 = 3(x − 4)
任意一个展开后都得到 y = 3x − 5。对照答案批改作业之前，最好先知道这一点。学生用的是 (4, 7)，答案用的是 (1, −2)，两个方程看起来不一样，但哪个都没有错。
点的坐标是负数时，符号为什么会变？
公式里要减去点的坐标。如果坐标是负数，就变成减去一个负数，结果就成了加。所以点 (−4, −1) 会得到 y + 1 和 x + 4。先把括号完整写出来再整理，是防止符号出错最简单的办法。
例题
求过点 (−4, −1)、斜率为 1/2 的直线。
- 带括号：y − (−1) = 1/2(x − (−4))
- 整理后：y + 1 = 1/2(x + 4)
反过来也一样。已知 y + 5 = −2(x − 6)，直线上的点是 (6, −5)，而不是 (6, 5)。方程里看到的是什么符号，坐标的符号就正好相反。
怎样把点斜式化成斜截式？
先去括号，再把左边的数移到右边，让 y 单独留在一边。得到的就是斜截式 y = kx + b。转化过程中斜率不变，最后单独剩下的那个数就是直线在 y 轴上的截距，也就是直线与 y 轴相交的位置。
例题
把 y − 3 = 2(x − 2) 化成斜截式。
- 去括号：y − 3 = 2x − 4
- 两边同时加 3：y = 2x − 1
斜率仍然是 2，直线与 y 轴交于 (0, −1)，在上面的图里能看到这个点。反过来也一样快。以 y = −3x + 5 为例，取 x = 1，得 y = 2。用点 (1, 2) 和斜率 −3，就得到 y − 2 = −3(x − 1)。
该用哪种形式？
已知什么，就用相应的形式。
- 点斜式：已知一点和斜率，或者已知两点。
- 斜截式：想直接读出斜率和 y 轴上的截距，或者要画图。
- 一般式 Ax + By = C：需要求直线与两条坐标轴的交点。
很多老师要求最后的答案写成 y = kx + b。完全可以先用点斜式，最后再化成斜截式。
点斜式公式是怎么来的？
它就是斜率公式变了个形。在直线上取一个定点 (x₁, y₁)，再取同一直线上任意一点 (x, y)。两点间的斜率是 k = (y − y₁) ÷ (x − x₁)。两边同乘 (x − x₁)，就得到 y − y₁ = k(x − x₁)。
例题
还是用过点 (2, 3)、斜率为 2 的直线，检验点 (5, 9)。从 (2, 3) 到 (5, 9) 的斜率是 (9 − 3) ÷ (5 − 2) = 6 ÷ 3 = 2。斜率相同，所以 (5, 9) 在这条直线上。点斜式说的正是这件事：9 − 3 = 2(5 − 2)。
免费教材 OpenStax Elementary Algebra 2e 也是用同样的方法推导公式的。之后它用这个公式求过两点的直线，以及平行线和垂直线，下一节就从这里讲起。
怎样用点斜式求平行线和垂直线？
平行线的斜率和原直线相同。垂直线的斜率是原斜率的负倒数，也就是把分数倒过来，再改变符号。斜率 2 变成 −1/2，斜率 −3/4 变成 4/3。有了新的斜率，再和已知点一起代入点斜式。
例题
求过点 (2, 3) 且与 y = 2x − 1 垂直的直线。
- 原斜率是 2，也就是 2/1。
- 倒过来并改变符号：−1/2。
- 点斜式：y − 3 = −1/2(x − 2)
- 斜截式：y = −1/2x + 4
用 x = 2 快速检验：−1/2 × 2 + 4 = 3，正好是这个点的纵坐标。如果要求过点 (6, 0) 的平行线，斜率保持 2：y − 0 = 2(x − 6)，即 y = 2x − 12。
所有直线都能用点斜式表示吗？
几乎都可以，例外是与 x 轴垂直的直线。它上面所有点的横坐标都相同，横向的变化量是 0，求斜率就要除以零。所以过点 (3, 1) 的这种直线要写成 x = 3。水平的直线完全没有问题，因为它们的斜率就是 0。
例题
以过点 (1, 4) 的水平直线为例。用点斜式写成 y − 4 = 0(x − 1)。零乘任何数都得零，所以方程变成 y − 4 = 0，也就是 y = 4。
怎样练习点斜式？
做直线题的速度，来自大量的练习。在一次函数游戏里，你要靠直线题来战斗。某一回合可能问从 (−2, 2) 到 (0, −6) 的斜率，答对了你的攻击就会命中。这道题是 (−6 − 2) ÷ (0 − (−2)) = −8 ÷ 2 = −4。
每次转化都相当于解一个小方程。如果你在这一步慢了下来，可以玩几局方程游戏来帮忙。以后每次变形公式，都会用到同样的步骤。
表示斜率的字母在不同国家也不一样。我国教材用 k，英语国家的课本常用 m，有些地方也用 a。不管用哪个字母，括号前面的数就是斜率，括号里的数来自直线上的一个点。
一个点和一个斜率确定一条直线
一个点加一个斜率就能完全确定一条直线，点斜式把这一点直接写了出来。代入时要仔细，符号处理好之前保留括号，最后用第二个点检验结果。之后再化成 y = kx + b，只需要两小步。