为什么斜截式这么好用
方程一旦写成这种形式，就能直接读出斜率和起点，几秒钟就能画出直线。下面会讲怎么读懂它，怎么由两个点或其他形式的方程求出它，以及大多数同学最容易犯的错误。
怎样求直线的斜截式方程？
要求出 y = kx + b，需要两样东西：斜率 k 和截距 b。先用两个点求斜率，k = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)。再把其中一个点和斜率代入 y = kx + b，解出 b。最后把求得的数代替 k 和 b，写出方程。
例题
求经过点 (1, 5) 和 (3, 9) 的直线方程。
- 斜率：k = (9 − 5) ÷ (3 − 1) = 4 ÷ 2 = 2
- 代入点 (1, 5)：5 = 2 × 1 + b，所以 b = 3
- 方程：y = 2x + 3
- 用另一个点 (3, 9) 检验：2 × 3 + 3 = 9，成立。
最后这一步检验只要十秒钟，却能发现大部分错误，值得养成习惯。
斜率是分数怎么办？
这里出现分数完全正常，算出分数并不代表你算错了。取点 (4, 0) 和 (−2, 4)。斜率是 (4 − 0) ÷ (−2 − 4) = 4 ÷ (−6) = −2/3。再由 0 = −2/3 × 4 + b 得 b = 8/3，所以 y = −2/3x + 8/3。用 (−2, 4) 检验：4/3 + 8/3 = 12/3 = 4。
斜率最好保留分数，不要四舍五入成小数，因为分数是精确的，检验时结果正好吻合。如果拖慢你的是分数，在分数游戏里玩几局，通分和约分都会快很多。
上面这一局里，7/10 = 70/100，因为分子和分母都乘以 10。
y = kx + b 中的 k 和 b 分别表示什么？
在 y = kx + b 中，k 是斜率，b 是直线在 y 轴上的截距。斜率表示 x 每增加 1 时 y 变化多少，也就是直线每向右走一步上升多少。截距 b 是 x = 0 时 y 的值，对应直线与 y 轴的交点 (0, b)。
例题
在 y = 3x − 2 中，斜率是 3，截距是 −2。直线与 y 轴交于 (0, −2)，每向右走 1，就向上升 3。在 y = −2x + 4 中，斜率是 −2，所以直线每向右走一步就下降 2，并与 y 轴交于 (0, 4)。
教材 OpenStax College Algebra 2e（英文）把斜率描述为“rise over run”，即竖直方向的变化除以水平方向的变化，并把 y 轴上的截距描述为输入值为零时的点。斜率为正，直线从左到右上升；斜率为负，直线下降；斜率的绝对值越大，直线越陡。
用生活中的例子理解 k 和 b
一支蜡烛高 20 cm，每小时烧掉 2 cm。t 小时后它的高度是 h = −2t + 20。20 是起始值（b），−2 是每小时的变化量（k）。3 小时后蜡烛高 14 cm，10 小时后就烧完了。很多同学觉得，把 b 看成初始值、把 k 看成每一步的变化量，更容易理解。
怎样画出 y = kx + b 的图像？
画 y = kx + b 时，先从 y 轴上的点 (0, b) 开始。然后把斜率看成竖直变化除以水平变化。向右移动水平变化的格数，再向上移动竖直变化的格数（斜率为负时向下），就得到第二个点。过这两点画一条直线并向两端延长。
例题
画出 y = 2x + 1 的图像。
- 在 y 轴上描出点 (0, 1)。
- 斜率 2 就是 2/1，所以向右走 1，向上走 2，到达 (1, 3)。
- 过 (0, 1) 和 (1, 3) 画直线。
如果斜率是 −2/3，就向右走 3，向下走 2。把分母当作水平移动的格数，就总能落在网格点上，直线也更容易画准确。
怎样把一般式化成斜截式？
要把像 2x + 3y = 6 这样的方程化成斜截式，就把它解出 y。先把含 x 的项移到等号另一边，再把每一项都除以 y 前面的系数。这时 x 前面的数就是斜率，单独的常数就是截距。
例题
把 2x + 3y = 6 化成斜截式。
- 两边同时减去 2x：3y = −2x + 6
- 每一项都除以 3：y = −2/3x + 2
斜率是 −2/3，截距是 2。常见的失误是直接从 2x + 3y = 6 读出斜率是 2。只有当 y 单独在等号一边时，这些数才表示斜率和截距。
点斜式还是斜截式？
点斜式 y − y₁ = k(x − x₁) 适合已知一个点和斜率的情况，因为可以马上写出来。对于点 (1, 5) 和斜率 2，得到 y − 5 = 2(x − 1)。去括号并化简，y = 2x − 2 + 5，又回到了 y = 2x + 3。两种形式表示的是同一条直线。
哪些直线不能写成斜截式？
竖直的直线不能写成斜截式。竖直直线上所有点的 x 都相同，所以水平变化为 0，求斜率就要除以零。因此竖直直线的斜率不存在。经过 x = 3 的竖直直线直接写成 x = 3。
例题
点 (3, 1) 和 (3, 6) 在一条竖直直线上。斜率将是 (6 − 1) ÷ (3 − 3) = 5 ÷ 0，没有意义。所以这条直线是 x = 3。而且竖直直线除非本身就是 y 轴，否则永远不会与 y 轴相交，所以也没有截距可以填入 b。
水平的直线没有问题。点 (−1, 4) 和 (5, 4) 得出斜率 0 ÷ 6 = 0，所以直线是 y = 0x + 4，也就是 y = 4。
斜截式最常见的错误有哪些？
斜截式中的大多数错误是小失误，而不是没理解。同学们会把点的坐标弄反，在斜率公式的分子和分母中用不同的顺序相减，或者还没把 y 单独移到一边就读出 k 和 b。用一个已知点检验最后的方程，几乎能发现所有这些错误。
每种失误的快速对策
下面是反复出现的失误，以及每一种的快速对策。
- 把点的 x 和 y 弄混。(5, 7) 表示 x = 5，y = 7。读的时候默念“先横后纵”。
- 改变相减的顺序。分子算 9 − 5，分母就要算 3 − 1，两次都把同一个点放在前面。
- 把 k 和 b 弄混。在 y = 4 + 3x 中斜率仍然是 3，因为 k 是 x 前面的系数，无论它写在哪里。
- 漏掉负号。在 y = −x + 2 中斜率是 −1，不是 1。
- 以为分数一定是错的。3/4 或 −2/3 这样的斜率和 2 一样有效。
多练斜截式，直到熟练自如
要快速读懂直线，就要多看直线。在一次函数游戏中，每次攻击都是一道关于直线的题目，你可以大量练习识别斜率和截距，却完全不像在写作业。
求 b 其实也只是一个一步就能解的小方程。如果你卡在这一步，方程游戏是很好的热身。
不同国家用的字母不一样。中国的课本写作 y = kx + b，而英语国家把同样的意思写成 y = mx + b。法国和波兰写作 y = ax + b，瑞典写作 y = kx + m，意大利写作 y = mx + q。不管用什么字母，x 前面的数永远是斜率，单独的常数表示直线与 y 轴相交的位置。
两个数就能描述任何一条非竖直的直线
任何一条不竖直的直线都能写成 y = kx + b，所以两个数就足以完整地描述它。斜率告诉你它有多陡、朝哪个方向，截距告诉你它从哪里开始。求出这两个数，再用一个点检验方程，其余的就水到渠成了。