数轴上的整数
在数轴上，从 0 开始向前或向后一个一个地数，每次停下的那些等距离的点就是整数。像 1/2、3.5 或 √2 这样的数落在它们之间的空隙里，所以不是整数。下面来看看怎样分辨整数，为什么 0 也是整数，以及整数的符号法则到底是怎么回事。
怎样判断一个数是不是整数？
如果一个数不用分数、也不用小数就能写出来，它就是整数。整数可以是正数、负数或 0。教材 OpenStax Prealgebra 2e（英文） 说得很简单，整数就是我们数数用的数、它们的相反数和 0。所以 7、−7 和 0 都是整数，而 7.5 不是。
例子
试着快速判断一下。
- −12 是整数，因为它是 12 的相反数。
- 0 是整数。
- 3.5 不是整数，因为它有小数部分。
- 1/2 不是整数。
- 8/2 是整数，因为 8/2 = 4。
- √9 是整数，因为 √9 = 3。
- √2 不是整数，因为它约等于 1.41。
最后几个例子说明了一个好习惯：先算出值，再下结论。一个数看起来像分数或根号，结果却可能是整数。
0 是整数吗？
是的，0 是整数。它位于数轴的中间，在负整数和正整数之间。0 既不是正数也不是负数，OpenStax 也明确这样说。不过 0 是偶数，因为 0 = 2 × 0，也就是说 0 除以 2 没有余数。
负数是整数吗？
只有没有分数部分和小数部分的负数才是整数。−5 和 −100 是整数。−2.5 和 −3/4 是负数，但不是整数。不管一个数是正是负，都可以用同样的方法判断。
整数和自然数有什么区别？
在我国现行的中小学教材里，自然数是 0、1、2、3 等等，不包括负数。整数包括所有自然数，再加上负整数 −1、−2、−3 等等。所以 −4 是整数，但不是自然数。有些旧教材和国外的书把自然数从 1 开始算，所以最好看看孩子课本里用的是哪种定义。
例子
下面是几个主要数集之间的包含关系。
- 正整数：1、2、3、4、…
- 自然数：0、1、2、3、4、…
- 整数：…、−3、−2、−1、0、1、2、3、…
- 有理数：所有能写成两个整数之比的数，比如 1/2、−3/4 和 7（也就是 7/1）
数学上用 ℤ 表示整数集。这个字母来自德语单词 Zahlen，意思是“数”。自然数集用 ℕ 表示。正如前面说的，就连自然数也有一点小分歧，有的书从 0 开始，有的从 1 开始。
生活中哪里能看到整数？
只要从一个零点往上、往下数，就会用到整数。零下的气温、地下楼层、海平面以下的深度，还有足球队的净胜球，都是可能为负的整数。在这些情况下，0 都是一个参照点，而不是“什么都没有”。
例子
早上气温是 −4 °C，到中午升高了 7 度。从 −4 开始，在数轴上往上数 7 步：−3、−2、−1、0、1、2、3。中午的气温是 3 °C，所以 −4 + 7 = 3。
一只海鸥在海面上方 5 米处飞，一名潜水员在海面下 2 米处游，也就是 −2 米。他们之间相距 7 米，因为 5 − (−2) = 7。
整数怎么加减？
做整数加法时，可以想象一条数轴。加上一个正数就向右移动，加上一个负数就向左移动。减法和加法相反，所以减去一个负数就向右移动。这就是为什么减去一个负数，结果反而变大。
例子
计算 −3 + 5。从 −3 开始，向右走 5 步。你会经过 −2、−1、0 和 1，最后停在 2。所以 −3 + 5 = 2。
再试几题。
- −6 + 2 = −4，因为从 −6 向右走 2 步就到 −4。
- −2 − 5 = −7，因为从 −2 向左走 5 步就到 −7。
- 4 − (−3) = 7，因为减去 −3 就等于加上 3。
为什么减去一个负数结果会变大？
减法问的是“相差多少”。在数轴上，4 和 −3 相差 7 步，所以 4 − (−3) = 7。OpenStax 把一般规律写成 a − (−b) = a + b。很多孩子做 −5 + 4 时会卡住，因为看到加号就以为结果会变大。从 −5 开始向右走 4 步，就能看出结果是 −1。
为什么负负得正？
两个整数相乘，同号得正，异号得负。负数乘负数得正数，是因为一个规律。第一个数每减小 1，结果就变化同样的量，而只有结果变成正数，这个规律才能继续下去。
例子
看看第一个数每次减小 1 时，3 × (−2) 会怎样变化。
- 3 × (−2) = −6
- 2 × (−2) = −4
- 1 × (−2) = −2
- 0 × (−2) = 0
- (−1) × (−2) = 2
- (−2) × (−2) = 4
每个结果都比前一个大 2。要让这个规律在越过 0 之后继续成立，(−1) × (−2) 就必须等于 2。还可以这样想：乘以 −1 就是在数轴上向后转。转两次，你又面向原来的方向了。
整数除法也遵循同样的符号法则吗？
是的。(−12) ÷ 3 = −4，(−12) ÷ (−3) = 4，同样是同号得正、异号得负。不过有一点不同。两个整数相加、相减或相乘，结果一定是整数，但相除就不一定了。8 ÷ 2 = 4 是整数，而 7 ÷ 2 = 3.5 不是。
怎样提高整数运算的速度？
整数运算要快，就要多做简短的小题，直到数轴印在脑子里。在负数游戏里，每次攻击都是一道快速的负数计算题，孩子们一心想赢下战斗，不知不觉就练熟了符号法则。
在上面这一回合里，减去 −17 就等于加上 17，所以 −1 − (−17) = −1 + 17 = 16。
一个数到 0 的距离叫作它的绝对值，所以 −5 的绝对值是 5。这是大多数学生学完整数之后接着要学的内容，绝对值游戏把它变成了一连串快速回合。
整数就是向前或向后数能数到的数
每个整数都是从 0 开始数能到达的一步，正数向右，负数向左。0 在中间，也属于整数。如果孩子能在脑海里想象出这条数轴，加法、减法和乘法的法则就不再是需要死记硬背的规定，而是变得顺理成章。