数学练习 · 焕然一新
高斯消元法游戏
这里的高斯消元一次只问一个数：一次行变换后留下的元素、从阶梯形读出的未知数，或者整个矩阵的秩。对手看到的是同一个矩阵，你算得越干净，你的斗士就越早出手。
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什么是高斯消元法？
高斯消元法是解线性方程组的一种方法：把方程组的系数排成表格，也就是矩阵，再一行一行地整理。可以交换两行、把一行乘以一个数，或者从一行里减去另一行的若干倍。一步一步地，阶梯下方堆满了0，最后从下往上读出答案。
例题：对[ 1 2 4 8 ; 5 4 6 7 ; 5 4 5 8 ]做R₂ − 5·R₁
- 题目问a₂₂，也就是做完R₂ − 5·R₁后第2行第2列的新元素。
- 在这一列里，第2行是4，第1行是2。
- 减去第1行元素的5倍：4 − 5 × 2 = 4 − 10 = −6。
- 新元素是−6，所以要连同负号一起输入。
一步一步学
高斯消元一次整理矩阵的一行。它最常用的一步是：取一行，减去另一行的若干倍。写作 R₂ − 3·R₁，意思是：新的第 2 行 = 第 2 行减去 3 倍的第 1 行。
你要一个元素一个元素、一列一列地做。要求第 2 行第 3 列的新元素，就取第 2 行第 3 列原来的元素，减去 3 倍的第 1 行第 3 列的元素。如果它们是 7 和 4，新元素就是 7 − 3 × 4 = 7 − 12 = −5。k 是为了让这一行的第一个元素变成 0 而选的——这正是这一步的目的——但你只需要题目指定的那一个元素。
找出所问那一列里的两个元素，把上面那个乘以 k，相减，输入新元素。
小贴士和常见错误
- 把a₃₂当成电影院的座位来读：先看排，再看座号。第3行第2列，绝不能反过来。
- 常见错误是两行都改了。R₂ − 5·R₁只改写第2行，第1行保持原样，只是把它的数借出去。
- 在纸上写一个小方程组，比如x + y = 5和x − y = 1，比一比谁先消去x再求出y。
怎么玩
每回合屏幕上出现一个矩阵和一个问题：一次行变换及它改变的元素、三角方程组里的一个未知数，或者一个秩。抢在对手之前用键盘输入数字，大蒜就会命中，答得越快打得越重。答错会让你短暂眩晕。
— 快问快答 —
高斯消元：精简 FAQ
- 什么是回代？
- 回代是从最后一个方程开始往上解三角方程组的方法。最下面一行只有一个未知数，所以先解它。把这个值代入上面一行，那一行也只剩一个未知数，就这样一直解到最上面。如果最后一行是2x₄ = 10，那么x₄ = 5，上一行就用这个5继续算。
- 矩阵的秩怎么求？
- 求矩阵的秩，就是用初等行变换把它化成阶梯形，然后数一数不全为0的行有几行。变成全0的行原本是其他行的组合，没有带来新的信息。第三行等于前两行之和的3×3矩阵，秩是2。
- 为什么做行变换时总是算错符号？
- 做行变换时符号出错，几乎都发生在减去一个负数元素的时候。如果第1行是−3，操作是R₂ − 2·R₁，你要减去2 × (−3) = −6，也就是加上6。减之前先把乘积连同符号写进括号里，错误就会消失。
- 高斯消元法一般在什么年龄学？
- 在许多教育体系里，高斯消元法出现在大学第一门线性代数课上，也有一些高中会用3×3方程组来介绍它。在这里，各关卡面向18岁的学习者。只要熟悉负数和简单方程，任何人都可以从第一关开始。
- 这个行变换游戏免费吗？全班可以一起玩吗？
- 是的，在笔记本电脑、平板或手机的任何浏览器里都免费，不需要安装任何东西。练习初等行变换时，可以给每个小组一个3×3方程组，让他们边消元边大声报出每个新元素。最先得到干净阶梯形的小组向全班讲解自己的步骤。按学生计价的学校方案还提供教师仪表板，能看出谁越来越快。