φ，一個名氣很大的數
數學家用希臘字母 φ（讀作 phi）來表示它。據說它藏在向日葵、知名建築和漂亮的臉孔裡。這些名聲有一部分當之無愧，但有很大一部分並不是。下面先談數學，再誠實地說說它到底在哪裡真正出現。
黃金比例怎麼計算？
黃金比例的計算公式是 φ = (1 + √5) ÷ 2。5 的平方根約為 2.236，加上 1，再除以 2，就得到約 1.618。因為 φ 是無理數，它的小數部分無限不循環。日常使用時，取 1.618 就夠精確了。
例子
用計算機分三步算出來。
- √5 ≈ 2.236
- 1 + 2.236 = 3.236
- 3.236 ÷ 2 = 1.618
所以 φ ≈ 1.618。如果需要更精確，取到小數點後十位是 φ = 1.6180339887。
φ 的公式是怎麼來的？
取一條線段，把它分成較長的一段 a 和較短的一段 b。如果整條線段與長段之比，等於長段與短段之比，這種分法就叫黃金分割。用符號寫就是 (a + b) ÷ a = a ÷ b。這個共同的比值就是 φ。
現在設短段為 1，那麼長段就是 φ。上面的規則變成 (φ + 1) ÷ φ = φ。兩邊同乘以 φ，得到 φ² = φ + 1，也就是 φ² − φ − 1 = 0。這是一元二次方程式，它的正根就是 (1 + √5) ÷ 2。大英百科全書（英文）也介紹了同樣的變形，得到 x² − x − 1 = 0。
為什麼 1.618、0.618 和 2.618 長得這麼像？
因為 φ² = φ + 1，所以把 φ 平方就等於加上 1，於是 φ² ≈ 2.618。把同一個方程式兩邊除以 φ，得到 φ = 1 + 1 ÷ φ，也就是 1 ÷ φ = φ − 1 ≈ 0.618。這就是三個不同的數小數部分相同的原因。
黃金比例為什麼這麼特別？
黃金比例之所以特別，是因為 φ 是唯一一個「平方等於它加 1、倒數等於它減 1」的正數。它也把幾何和計數連在一起。把線段均衡地分開、畫一個正五邊形、把相鄰的費氏數相除，都會得到同一個值。
例子
在邊長為 1 的正五邊形中，每條對角線（連接兩個不相鄰頂點的線段）的長度剛好是 φ，約 1.618。所以畫在正五邊形裡的五角星處處都是黃金比例。五角星的每個角都被其他線條按黃金比例分割。
這個想法非常古老。根據大英百科全書，它可以追溯到歐幾里得，他在《幾何原本》中把這種分法稱為「中末比」。
黃金比例和圓周率一樣嗎？
不一樣。圓周率（π ≈ 3.14）是圓周長與直徑的比，而黃金比例（φ ≈ 1.618）來自線段的分割。兩者都是小數無限不循環的無理數，這大概就是大家容易把它們搞混的原因。它們的數值不同，來源的圖形也不同。
黃金比例和費氏數列是同一回事嗎？
黃金比例和費氏數列（費波那契數列）不是同一回事，但關係非常密切。費氏數列是一串正整數，每個數都等於前兩個數的和。把每個費氏數除以它前面的那個數，結果會越來越接近黃金比例。
例子
從費氏數列中取相鄰的兩個數相除。
- 5 ÷ 3 ≈ 1.667
- 8 ÷ 5 = 1.6
- 13 ÷ 8 = 1.625
- 21 ÷ 13 ≈ 1.615
- 34 ÷ 21 ≈ 1.619
- 89 ÷ 55 ≈ 1.618
結果在 1.618 上下來回跳動，很快就穩定下來。算到 144 ÷ 89 時，結果已經和 φ 的前三位小數相同。這是很適合孩子的計算機小活動，他們能親眼看到普通的除法裡浮現出規律。
找出一串數字背後的規律，是一種遠遠超越費氏數列的能力。在數列遊戲裡，每次攻擊都是一個少了一個數的數列，你要比對手更快找出規律。
在上圖這一回合裡，每個數都比前一個數多 5，所以缺少的數是 24。
怎麼畫黃金矩形？
黃金矩形的長邊約是短邊的 1.618 倍。畫的時候，把短邊乘以 1.618，或把長邊除以 1.618 求出短邊。你也可以從一個正方形開始，用圓規精確地作圖，完全不必量任何小數。
例子
如果短邊是 10 公分，長邊就是 10 × 1.618 ≈ 16.2 公分。如果一個網頁寬 1000 像素，想按黃金比例分割，就除以 φ，得到約 618 像素的主欄和約 382 像素的側欄。
用圓規作圖的步驟如下。
- 畫一個邊長為 1 的正方形（例如 1 公寸）。
- 標出底邊的中點。
- 把圓規的針尖放在這個中點上，張開到對側的上方頂點。這段距離是 √5 ÷ 2，約 1.118。
- 把圓規向下旋轉，交到底邊的延長線上。新的長度是 0.5 + 1.118 = 1.618。
- 把矩形畫完整。它的兩邊分別是 1 和 φ。
從黃金矩形切掉那個正方形，剩下的部分又是一個黃金矩形。一直重複，並在每個正方形裡畫四分之一圓，就會得到黃金比例圖片中常見的那條螺線。這類幾何也出現在幾何遊戲裡，圖形、角度和面積都會變成快速挑戰。
大自然中哪裡有黃金比例？
大自然中最明顯的例子，是許多植物排列葉子和種子的方式。向日葵花盤上每顆新種子相對於上一顆，都大約轉過相同的角度，約 137.5°。這個黃金角讓種子排得緊密又沒有空隙，並形成一條條螺線，螺線的數目常常是費氏數。
例子
黃金角直接來自 φ。用一整圈除以 φ²，得到 360° ÷ 2.618 ≈ 137.5°。換個方式看，這個轉角把圓周分成約 222.5° 和 137.5° 兩段弧，兩段弧剛好成黃金比例。
英國諾丁漢大學研究人員在 2022 年發表的綜述 The Golden Ratio in Nature（英文）蒐集了各種尺度的例子，並寫到這個比例「有出現在許多不同科學與藝術領域的傾向」。「傾向」這個詞用得很精準。很多植物遵循的是別的規律，所以它不是自然定律。
鸚鵡螺的殼是黃金螺線嗎？
通常不是。鸚鵡螺依照對數螺線生長，長大時形狀維持不變，這本身就很美。實際測量真正的貝殼，通常得到與 φ 不同的生長比例。把黃金螺線畫在鸚鵡螺照片上，只是一張好看的圖，不是測量結果。
藝術、建築和臉孔裡真的有黃金比例嗎？
大多數時候沒有。所謂帕德嫩神廟、名畫或好看的臉符合黃金比例的說法，經不起仔細測量。新南威爾斯大學的數學家湯瑪斯．布里茲 2022 年在 The Conversation（英文）撰文指出，φ 在古希臘藝術和建築中極少出現。
例子
關於帕德嫩神廟的流行說法是，它的正面剛好可以放進一個黃金矩形。布里茲寫道，仔細計算顯示這個說法是錯的。替名人打分數的「黃金比例臉型測驗」也一樣。它們所根據的「完美臉型面具」早已被推翻，也沒有任何單一數字能決定一張臉美不美。
這個迷思能流傳下來，一個常見原因是只挑符合的例子。幾乎任何建築或臉孔上，都能找到某兩段長度的比接近 1.6，尤其是你可以自己決定要量哪裡的時候。像 3 ÷ 2 = 1.5 或 16 ÷ 9 ≈ 1.78 這樣的比例同樣看起來舒服，而且在螢幕和照片中常見得多。公平的檢驗會看很多對象，既算符合的，也算不符合的。
藝術家和設計師會刻意使用黃金比例嗎？
有些會。設計師有時把 1.618 當作版面、畫框或字級的起點，因為這樣分出來的比例既不會太平均，也不會太失衡。這是設計上的選擇，並不能證明美的東西裡都藏著這個比例。它和其他協調的比例一樣好用。
黃金比例是真正的數學，不是審美法則
黃金比例是一個精確的數，(1 + √5) ÷ 2 ≈ 1.618，它的性質讓數學家會心一笑。平方等於加 1，1 除以它等於減 1，費氏數的比值會越來越接近它。它決定了許多植物種子的螺線排列，而大多數關於臉孔和知名建築的故事，不過是帶著期待量出來的結果。
和孩子一起探索它，最好的方法就是動手做。用計算機把費氏數相除，用圓規畫一個黃金矩形，或數一數毬果上的螺線。每個活動都能呈現真實的規律，而且都不需要神話來讓它變得有趣。