Wie bildet man die Fibonacci-Folge?
Um die Fibonacci-Folge zu bilden, schreibst du 0 und 1 auf, addierst dann die letzten beiden Zahlen, um die nächste zu bekommen, und wiederholst diesen Schritt immer weiter. Jede neue Zahl hängt nur von den beiden vorherigen ab, deshalb kann die Folge unendlich weitergehen. Die Zahlen, die du so aufschreibst, heißen Fibonacci-Zahlen.
Beispiel
Bilde die Folge Schritt für Schritt. Beginne mit 0 und 1.
- 0 + 1 = 1
- 1 + 1 = 2
- 1 + 2 = 3
- 2 + 3 = 5
- 3 + 5 = 8
- 5 + 8 = 13
- 8 + 13 = 21
Jede neue Zahl braucht nur die letzten beiden. Das macht die Folge zu einer guten Kopfrechen-Aufgabe für Kinder, denn die Zahlen wachsen schnell, aber die Regel ändert sich nie. Die Regel ist so einfach, dass schon ein kleines Kind sie versteht, und doch tauchen dieselben Zahlen in Sonnenblumen, Kiefernzapfen und beim Goldenen Schnitt auf.
Beginnt die Folge mit 0 oder mit 1?
Beide Versionen sind üblich. Viele Bücher beginnen mit 0, 1, 1, 2, 3, andere mit 1, 1, 2, 3. Die Zahlen danach sind in beiden Fällen gleich. Mathematiker schreiben die Regel meist als Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂, mit F₀ = 0 und F₁ = 1. Das bedeutet „jedes Glied ist die Summe der beiden vorherigen“.
Versteckte Muster in der Folge
In der Folge stecken kleine Muster, die Kinder gern entdecken. Jede dritte Zahl ist gerade (0, 2, 8, 34, 144, 610), alle anderen sind ungerade. Jede fünfte Zahl ist durch 5 teilbar (0, 5, 55, 610). Lass ein Kind diese Muster weiter hinten in der Folge überprüfen. So übt es spielerisch das Addieren und erkennt gleichzeitig Strukturen.
Woher kommt die Fibonacci-Folge?
Die Folge ist nach Leonardo von Pisa benannt, genannt Fibonacci, einem italienischen Mathematiker. Er beschrieb sie in seinem Buch Liber abaci aus dem Jahr 1202 mit Hilfe einer Aufgabe über Kaninchen. Laut Britannica ist sie die erste rekursive Zahlenfolge, die in Europa bekannt war. Das heißt, jedes Glied wird aus früheren Gliedern gebildet.
Beispiel
Die Kaninchen-Aufgabe funktioniert so. Du beginnst mit einem neugeborenen Kaninchenpaar. Ein Paar braucht einen Monat, um erwachsen zu werden, und ab dann bekommt jedes erwachsene Paar jeden Monat ein neues Paar. Kein Kaninchen verschwindet. Zähle die Paare jeweils am Monatsanfang.
- Monat 1: 1 Paar (neugeboren)
- Monat 2: 1 Paar (jetzt erwachsen)
- Monat 3: 2 Paare (die Erwachsenen und ihre ersten Jungen)
- Monat 4: 3 Paare
- Monat 5: 5 Paare
- Monat 6: 8 Paare
Die Summe jedes Monats ist die Summe des Vormonats plus die Zahl der erwachsenen Paare, und die Erwachsenen sind genau die Summe von vor zwei Monaten. Das ist die Fibonacci-Regel. Echte Kaninchen verhalten sich natürlich nicht so ordentlich. Die Aufgabe sollte das Muster beschreiben und war keine Studie über Tiere.
Wie findet man die nächste Zahl der Fibonacci-Folge?
Um die nächste Fibonacci-Zahl zu finden, addierst du die letzten beiden Zahlen der Folge. Nach 21 und 34 kommt 21 + 34 = 55, und nach 34 und 55 kommt 89. Wenn du eine Zahl weit hinten in der Folge suchst, führst du eine fortlaufende Liste oder nutzt die Formel von Binet, die jedes Glied direkt mit dem Goldenen Schnitt berechnet.
Beispiel
Finde die 10. Fibonacci-Zahl, wenn F₀ = 0 der Anfang ist. Schreibst du die Liste auf, erhältst du 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, also ist F₁₀ = 55.
Die Formel von Binet liefert dasselbe Ergebnis ohne Liste. Nimm den Goldenen Schnitt φ (etwa 1,618) hoch 10 und teile durch √5. Das ergibt ungefähr 122,99 : 2,236 ≈ 55,004, und gerundet auf die nächste ganze Zahl ergibt sich 55. Für ältere Schülerinnen und Schüler ist das eine schöne Überraschung, denn eine Zahl, die aus Wurzeln gebaut ist, landet jedes Mal so nah an einer ganzen Zahl.
Die Regel hinter einer Zahlenreihe zu erkennen ist eine Fähigkeit, die weit über Fibonacci hinausgeht. Das Zahlenfolgen-Spiel macht daraus einen Kampf, bei dem jeder Angriff eine Zahlenfolge ist und du die fehlende Zahl finden musst. So übst du schnell, Muster wie „addiere die letzten beiden“ zu erkennen, ohne etwas aufzuschreiben.
Was hat die Fibonacci-Folge mit dem Goldenen Schnitt zu tun?
Wenn du jede Fibonacci-Zahl durch die vorherige teilst, kommen die Ergebnisse dem Goldenen Schnitt immer näher, also etwa 1,618. Zum Beispiel ist 8 : 5 = 1,6, 13 : 8 = 1,625 und 89 : 55 ≈ 1,618. Der Goldene Schnitt selbst ist (1 + √5) : 2, eine Zahl, deren Nachkommastellen nie enden und sich nie wiederholen.
Beispiel
Sieh dir an, wie sich die Quotienten einpendeln, während die Zahlen wachsen.
- 3 : 2 = 1,5
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 55 : 34 ≈ 1,618
Die Ergebnisse springen über und unter 1,618 und kommen jedes Mal näher heran. Britannica schreibt, dass der Mathematiker Robert Simson diesen Zusammenhang 1753 beschrieben hat.
Was ist die Fibonacci-Spirale?
Zeichne ein Quadrat mit der Seitenlänge 1, daneben ein weiteres Quadrat mit 1, dann ein Quadrat mit 2, dann 3, dann 5, dann 8. Lege jedes neue Quadrat an das Rechteck, das du bisher hast. Verbinde gegenüberliegende Ecken jedes Quadrats mit einem Viertelkreis, und du erhältst die Fibonacci-Spirale. Sie ist eine gute Näherung der goldenen Spirale, die bei jeder Vierteldrehung um den Goldenen Schnitt wächst.
Wo kommt die Fibonacci-Folge in der Natur vor?
Fibonacci-Zahlen tauchen oft bei Pflanzen auf. Die Kerne einer Sonnenblume bilden zwei Gruppen von Spiralen, und die Zahl der Spiralen in jede Richtung ist meist ein Paar benachbarter Fibonacci-Zahlen, zum Beispiel 34 und 55 oder 55 und 89. Kiefernzapfen zeigen ähnliche Spiralen, und viele Blumen haben 3, 5, 8, 13 oder 21 Blütenblätter.
Beispiel
Nimm einen Kiefernzapfen oder ein Foto einer Sonnenblume und zähle die Spiralen, die im Uhrzeigersinn verlaufen. Zähle dann die Spiralen, die in die andere Richtung verlaufen. Die Seiten über Fibonacci in der Natur von Dr. Ron Knott an der University of Surrey zeigen Sonnenblumen mit 55 Spiralen in die eine und 34 in die andere Richtung, und größere mit 89 und 55.
Dieselben Seiten ordnen Blumen nach der Zahl ihrer Blütenblätter, etwa Rittersporn mit 8, Jakobs-Greiskraut und manche Gänseblümchen mit 13 und Astern mit 21. Gemeinsam zählen ist eine schöne Aktivität zum Anfassen, und sie zeigt Kindern, dass Zahlen echte Dinge um sie herum beschreiben.
Warum wachsen Pflanzen in Fibonacci-Spiralen?
Viele Pflanzen setzen jeden neuen Samen oder jedes neue Blatt um ungefähr denselben Drehwinkel versetzt zum vorherigen, etwa 137,5°. Dieser Winkel hängt mit dem Goldenen Schnitt zusammen und packt die Samen dicht an dicht ohne verschenkte Lücken. Die Spiralen, die du zählen kannst, sind eine Nebenwirkung dieser gleichmäßigen Drehung. Der zweite Teil von Ron Knotts Leitfaden zeigt, warum dieser Winkel so gut funktioniert.
Steckt die Fibonacci-Folge wirklich überall in der Natur?
Nein. Fibonacci-Zahlen sind bei Pflanzen häufig, aber sie sind kein Naturgesetz. Ron Knotts Seiten aus Surrey weisen darauf hin, dass man nicht immer Fibonacci-Zahlen in Blütenblättern oder Samenständen findet, und manche Blumen, zum Beispiel Fuchsien, haben 4 Blütenblätter. Viele Behauptungen im Internet, besonders über Muscheln, Gesichter und berühmte Bauwerke, gehen weit über die Belege hinaus.
Beispiel
Das Gehäuse des Nautilus wird oft mit einer darüber gezeichneten goldenen Spirale gezeigt. Das Gehäuse wächst tatsächlich in einer logarithmischen Spirale, einer Kurve, die beim Größerwerden ihre Form behält. Aber Knotts Seiten weisen darauf hin, dass sein Wachstumsfaktor schwankt und vielleicht nicht der Goldene Schnitt ist, und dass es falsch ist, von einer goldenen Spirale zu sprechen. Der Nautilus ist also eine wunderschöne Spirale, aber kein Beweis für Fibonacci.
Das ist auch für ältere Kinder eine wertvolle Lektion. Ein Muster, das oft auftaucht, ist es wert, beachtet zu werden, aber die ehrliche Frage lautet immer „wie oft, und wie genau?“. Die Spiralen an einem echten Kiefernzapfen zu zählen ist ein besserer Test als jedes Bild im Internet.
Zwei Startzahlen und eine Regel bilden die ganze Folge
Jede Fibonacci-Zahl entsteht durch denselben Schritt, die Addition der beiden Zahlen davor. Hier sind die ersten 21 Glieder ab F₀ = 0, damit du deine eigene Liste überprüfen kannst.
- 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
- 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987
- 1.597, 2.584, 4.181, 6.765
Wenn ein Kind den Überblick verliert, geh mit ihm zurück zu den letzten beiden Zahlen, bei denen es sich sicher ist, und rechne noch einmal zusammen. Die Regel ändert sich nie, deshalb lässt sich ein Fehler immer leicht beheben.
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