Das Ziegenproblem (Monty-Hall-Problem) ohne Kopfzerbrechen erklärt

Falls dir das falsch vorkommt, bist du in guter Gesellschaft. Tausende Menschen, darunter einige mit Doktortitel, wollten es zuerst nicht glauben. Unten findest du das Rätsel und danach ein paar verschiedene Wege, um zu verstehen, warum Wechseln funktioniert. Bei einem davon macht es wahrscheinlich klick.

Wie funktioniert das Ziegenproblem?

Du bist in einer Spielshow und stehst vor drei geschlossenen Türen. Hinter einer steht ein Auto, hinter den anderen beiden je eine Ziege. Du wählst eine Tür. Der Moderator, der weiß, wo das Auto steht, öffnet eine der beiden anderen Türen und zeigt dir eine Ziege. Dann fragt er, ob du bei deiner Tür bleibst oder zur letzten geschlossenen Tür wechselst.

Die meisten zucken mit den Schultern und sagen, das sei egal. Es sind ja noch zwei Türen übrig, also muss es fifty-fifty sein. Ist es aber nicht. Wer wechselt, gewinnt das Auto in 2 von 3 Fällen.

Das Rätsel ist nach Monty Hall benannt, der die amerikanische Spielshow Let's Make a Deal moderierte (in Deutschland lief sie als Geh aufs Ganze!). Die berühmte Antwort hängt an drei Regeln.

• Der Moderator öffnet immer eine Tür, die du nicht gewählt hast.
• Der Moderator zeigt immer eine Ziege, nie das Auto.
• Der Moderator bietet dir immer den Wechsel an.

Warum gewinnt Wechseln in 2 von 3 Fällen?

Deine erste Wahl ist in 2 von 3 Fällen falsch. Und jedes Mal, wenn sie falsch ist, hat der Moderator keine Wahl. Er muss die andere Ziegentür öffnen, und damit steht das Auto hinter der Tür, zu der du wechseln kannst. Wechseln gewinnt also immer dann, wenn dein erster Tipp falsch war, und verliert nur, wenn du gleich das Auto erwischt hast.

Beispiel

Angenommen, du wählst immer Tür 1. Das Auto kann nur an drei Stellen stehen, und jede ist gleich wahrscheinlich.

1. Das Auto steht hinter Tür 1. Der Moderator öffnet Tür 2 oder Tür 3. Bleiben gewinnt, Wechseln verliert.
2. Das Auto steht hinter Tür 2. Der Moderator muss Tür 3 öffnen. Bleiben verliert, Wechseln gewinnt.
3. Das Auto steht hinter Tür 3. Der Moderator muss Tür 2 öffnen. Bleiben verliert, Wechseln gewinnt.

Jetzt zähl nach. Bleiben gewinnt einmal, Wechseln zweimal. Und das gilt genauso, egal mit welcher Tür du anfängst.

Man kann es sich auch anders vorstellen. Deine Tür startet mit einer Chance von 1/3, die beiden anderen Türen teilen sich die restlichen 2 von 3. Wenn der Moderator eine davon öffnet, bewegt sich das Auto nicht. Er zeigt dir nur, welche dieser beiden Türen jetzt die ganzen 2 von 3 auf sich vereint.

Warum ist es bei zwei übrigen Türen nicht fifty-fifty?

Weil der Moderator keine zufällige Tür öffnet. Er weiß, wo das Auto steht, und meidet es immer. Die Tür, die er geschlossen lässt, wurde also mit diesem Wissen ausgewählt. Deine eigene Tür hast du blind gewählt, und sie behält ihre Chance von 1/3. Die andere geschlossene Tür bekommt den Rest, also 2 von 3.

Ein Artikel von Scientific American über das Rätsel führt den Fehler auf etwas zurück, das Psychologen den Gleichwahrscheinlichkeitsfehler nennen. Wir neigen dazu anzunehmen, dass alle Ausgänge, die wir vor uns sehen, gleich wahrscheinlich sind. Zwei Türen sehen aus wie ein Münzwurf, also hören wir auf nachzudenken.

Die zweite Falle ist, dass der Zug des Moderators scheinbar nichts verrät. In Wahrheit verrät er eine Menge. Immer wenn hinter deiner Tür eine Ziege steht, ist der Moderator gezwungen, die Autotür geschlossen zu lassen. Genau diese erzwungene Wahl ist die versteckte Information.

Wird es mit 100 Türen leichter?

Für viele ja. Stell dir 100 Türen und ein Auto vor. Du wählst eine, und der Moderator, der weiß, wo das Auto steht, öffnet 98 der anderen und zeigt 98 Ziegen. Eine Tür bleibt zu. Deine Tür hatte eine Chance von 1/100. Die Tür, die der Moderator sorgfältig ausgelassen hat, hat jetzt die übrigen 99 von 100.

Beispiel

Du wählst Tür 37. Der Moderator öffnet alle Türen von 1 bis 100 außer 37 und 82. Glaubst du wirklich, dass deine zufällige erste Wahl die glückliche war? Viel wahrscheinlicher ist, dass er Tür 82 ausgelassen hat, weil das Auto dahinter steht.

Marilyn vos Savant, die das Rätsel berühmt gemacht hat, nahm sogar eine noch größere Version mit einer Million Türen. Bei drei Türen ist die Idee dieselbe, man spürt sie nur schwerer. Wenn dir die 100 Türen nicht helfen, denk lieber ans Danebenliegen. Deine erste Wahl ist in 2 von 3 Fällen falsch, und Wechseln macht aus jeder falschen Wahl einen Gewinn.

Was passiert, wenn der Moderator nicht weiß, wo das Auto steht?

Dann bringt Wechseln nichts mehr. Wenn der Moderator zufällig eine Tür öffnet und dahinter zufällig eine Ziege steht, gewinnen Bleiben und Wechseln jeweils in der Hälfte der Fälle. Die Antwort 2 von 3 gilt nur, wenn der Moderator weiß, wo das Auto steht, immer eine Ziegentür öffnet und immer den Wechsel anbietet.

Beispiel

Du wählst Tür 1, und ein ahnungsloser Moderator öffnet zufällig Tür 2 oder Tür 3. Manchmal zeigt er dabei aus Versehen das Auto, und diese Runden sind verdorben. In den Runden, in denen eine Ziege erscheint, steht das Auto genau in der Hälfte der Fälle hinter deiner Tür.

Der echte Monty Hall hat auf denselben Haken hingewiesen. In einem Artikel der New York Times von 1991 warnte er, dass ein Kandidat aufpassen sollte, wenn der Moderator selbst entscheiden kann, ob er überhaupt einen Wechsel anbietet. In einer echten Show könnte schon das Angebot eine Falle sein.

Wie kannst du das Ziegenproblem selbst testen?

Du brauchst nur drei Spielkarten und jemanden, der mitspielt. Ein Ass ist das Auto, zwei andere Karten sind die Ziegen. Dein Mitspieler mischt sie verdeckt, du zeigst auf eine, und er dreht eine Ziege um, die du nicht gewählt hast. Spielt 30 Runden, in denen du immer wechselst. Du solltest etwa 20 davon gewinnen.

Dann spielt weitere 30 Runden, in denen du immer bleibst. Diesmal solltest du etwa 10 gewinnen. Bei so wenigen Runden schwanken die Zahlen etwas, aber der Unterschied zeigt sich schnell.

Selbst berühmte Mathematiker mussten es erst sehen. Scientific American erwähnt, dass auch der äußerst produktive Mathematiker Paul Erdős auf das Rätsel hereinfiel. Wenn es sich also immer noch falsch anfühlt, hol die Karten raus.

Was das Rätsel eigentlich trainiert, ist, alle möglichen Fälle fair abzuzählen. Das Wahrscheinlichkeitsspiel stellt in jeder Runde dieselbe Art von Frage. Im Kampf unten musst du zum Beispiel zählen, auf wie viele Arten 4 Münzen genau 1 Mal Kopf zeigen können. Die Antwort ist 4, denn Kopf kann auf jeder der vier Münzen liegen.

Warum liegen so viele Menschen beim Ziegenproblem falsch?

Zwei geschlossene Türen sehen einfach nach fifty-fifty aus, und das versteckte Wissen des Moderators übersieht man leicht. Wahrscheinlich spielt auch Reue eine Rolle. Zu verlieren, nachdem man vom Auto weggewechselt hat, fühlt sich schlimmer an, als zu verlieren, weil man geblieben ist. Deshalb bleiben viele bei ihrer ersten Tür, selbst wenn sie die Mathematik verstanden haben.

Das Rätsel tauchte erstmals 1975 auf, in Briefen des Statistikers Steve Selvin. Berühmt wurde es 1990, als Marilyn vos Savant es in ihrer Kolumne Ask Marilyn im Magazin Parade beantwortete und den Lesern zum Wechseln riet. Laut Scientific American bekam sie schätzungsweise 10.000 Briefe, in denen stand, sie liege falsch. Die New York Times ergänzte, dass fast 1.000 davon von Menschen mit Doktortitel unterschrieben waren.

Sie hatte natürlich recht. Die Briefe gehören heute zur Geschichte, und sie erinnern am besten daran, dass ein selbstsicheres Bauchgefühl beim Thema Zufall völlig danebenliegen kann.

Wechseln, solange der Moderator Bescheid weiß und immer eine Ziegentür öffnet

Unter den üblichen Regeln verdoppelt Wechseln deine Gewinnchance, von 1/3 auf 2/3. Ändert man die Regeln, kann sich auch die Antwort ändern, zum Beispiel bei einem Moderator, der Türen zufällig öffnet oder den Wechsel nur anbietet, wenn es ihm passt. Das ist die Lehre, die weit über Spielshows hinausgeht. Bevor du einer Wahrscheinlichkeit traust, frag dich, wie die Informationen vor dir ausgewählt wurden.