Warum die Form y = mx + b so praktisch ist
Steht eine Gleichung in dieser Form, kannst du Steigung und Startpunkt direkt ablesen und die Gerade in wenigen Sekunden zeichnen. Hier erfährst du, wie du die Gleichung liest, wie du sie aus zwei Punkten oder aus einer anderen Form aufstellst und welche Fehler am häufigsten passieren.
Wie stellt man die Geradengleichung auf?
Um die Geradengleichung aufzustellen, brauchst du zwei Dinge, die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Die Steigung berechnest du aus zwei Punkten mit m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Dann setzt du einen Punkt und die Steigung in y = mx + b ein und löst nach b auf. Schreib das Ergebnis mit deinen Zahlen anstelle von m und b.
Beispiel
Bestimme die Gerade durch die Punkte (1 | 5) und (3 | 9).
- Steigung: m = (9 − 5) : (3 − 1) = 4 : 2 = 2
- Punkt (1 | 5) einsetzen: 5 = 2 · 1 + b, also b = 3
- Gleichung: y = 2x + 3
- Probe mit dem anderen Punkt (3 | 9): 2 · 3 + 3 = 9. Passt.
Diese Probe dauert zehn Sekunden und deckt die meisten Fehler auf, deshalb lohnt es sich, sie zur Gewohnheit zu machen.
Was, wenn die Steigung ein Bruch ist?
Brüche sind hier völlig normal, und ein Bruch heißt nicht, dass du dich verrechnet hast. Nimm die Punkte (4 | 0) und (−2 | 4). Die Steigung ist (4 − 0) : (−2 − 4) = 4 : (−6) = −2/3. Aus 0 = −2/3 · 4 + b folgt b = 8/3, also y = −2/3x + 8/3. Probe mit (−2 | 4): 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.
Lass die Steigung als Bruch stehen, statt sie als gerundete Dezimalzahl zu schreiben, denn der Bruch ist exakt und die Probe geht genau auf. Wenn dich vor allem die Brüche ausbremsen, helfen ein paar Runden im Bruchrechnen-Spiel, damit Erweitern und Kürzen viel schneller gehen.
In der Runde oben gilt 7/10 = 70/100, weil Zähler und Nenner beide mit 10 multipliziert werden.
Was bedeuten m und b in y = mx + b?
In y = mx + b ist m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt. Die Steigung gibt an, um wie viel sich y ändert, wenn x um 1 größer wird. Der y-Achsenabschnitt ist der Wert von y bei x = 0, also der Punkt (0 | b) auf der y-Achse.
Beispiel
Bei y = 3x − 2 ist die Steigung 3 und der y-Achsenabschnitt −2. Die Gerade schneidet die y-Achse in (0 | −2), und mit jedem Schritt um 1 nach rechts steigt sie um 3. Bei y = −2x + 4 ist die Steigung −2, die Gerade fällt also mit jedem Schritt nach rechts um 2, und sie schneidet die y-Achse in (0 | 4).
Das Lehrbuch OpenStax College Algebra 2e (auf Englisch) beschreibt die Steigung als „rise over run“, also Höhenunterschied geteilt durch Breitenunterschied, und den y-Achsenabschnitt als den Punkt, an dem der Eingabewert null ist. Eine positive Steigung steigt von links nach rechts, eine negative fällt, und je größer die Zahl (ohne Vorzeichen), desto steiler die Gerade.
Ein Beispiel aus dem Alltag für m und b
Eine Kerze ist 20 cm hoch und brennt jede Stunde um 2 cm herunter. Ihre Höhe nach t Stunden ist h = −2t + 20. Die 20 ist der Startwert (b), und −2 ist die Änderung pro Stunde (m). Nach 3 Stunden ist sie noch 14 cm hoch, nach 10 Stunden ist sie ganz abgebrannt. Vielen fällt es leichter, sich b als Startwert und m als Änderung pro Schritt vorzustellen.
Wie zeichnet man eine Gerade mit y = mx + b?
Um y = mx + b zu zeichnen, beginnst du beim y-Achsenabschnitt (0 | b) auf der y-Achse. Von dort aus nutzt du die Steigung als Steigungsdreieck. Geh so viele Kästchen nach rechts, wie der Nenner angibt, und so viele nach oben, wie der Zähler angibt (bei negativer Steigung nach unten), um einen zweiten Punkt zu finden. Zeichne durch beide Punkte eine Gerade und verlängere sie.
Beispiel
Zeichne y = 2x + 1.
- Trag den y-Achsenabschnitt (0 | 1) ein.
- Die Steigung 2 bedeutet 2/1, also 1 nach rechts und 2 nach oben. So landest du bei (1 | 3).
- Zeichne die Gerade durch (0 | 1) und (1 | 3).
Bei einer Steigung wie −2/3 gehst du 3 nach rechts und 2 nach unten. Wenn du den Nenner als Schritt nach rechts nimmst, landest du immer auf Gitterpunkten, und die Gerade lässt sich genauer zeichnen.
Wie formt man eine allgemeine Geradengleichung in y = mx + b um?
Um eine Gleichung wie Ax + By = C in die Form y = mx + b zu bringen, löst du sie nach y auf. Bring den x-Term auf die andere Seite und teile dann jeden Term durch die Zahl vor y. Die Zahl vor x ist jetzt die Steigung, und die Zahl, die allein steht, ist der y-Achsenabschnitt.
Beispiel
Forme 2x + 3y = 6 um.
- Auf beiden Seiten 2x subtrahieren: 3y = −2x + 6
- Jeden Term durch 3 teilen: y = −2/3x + 2
Die Steigung ist −2/3 und der y-Achsenabschnitt 2. Ein häufiger Fehler ist es, die Steigung 2 direkt aus 2x + 3y = 6 abzulesen. Die Zahlen bedeuten erst dann Steigung und Achsenabschnitt, wenn y allein auf einer Seite steht.
Punkt-Steigungs-Form oder y = mx + b?
Die Punkt-Steigungs-Form y − y₁ = m(x − x₁) ist praktisch, wenn du einen Punkt und die Steigung kennst, weil du sie sofort hinschreiben kannst. Für den Punkt (1 | 5) und die Steigung 2 erhältst du y − 5 = 2(x − 1). Ausmultiplizieren und vereinfachen, y = 2x − 2 + 5, und du bist wieder bei y = 2x + 3. Beide Formen beschreiben dieselbe Gerade.
Welche Geraden lassen sich nicht als y = mx + b schreiben?
Senkrechte Geraden lassen sich nicht als y = mx + b schreiben. Alle Punkte einer senkrechten Geraden haben dasselbe x, der Schritt nach rechts ist also 0, und für die Steigung müsste man durch null teilen. Deshalb ist die Steigung einer senkrechten Geraden nicht definiert. Die senkrechte Gerade durch x = 3 schreibt man einfach als x = 3.
Beispiel
Die Punkte (3 | 1) und (3 | 6) liegen auf einer senkrechten Geraden. Die Steigung wäre (6 − 1) : (3 − 3) = 5 : 0, und das hat kein Ergebnis. Die Gerade ist also x = 3. Außerdem schneidet eine senkrechte Gerade die y-Achse nie, außer sie ist selbst die y-Achse, es gibt also keinen y-Achsenabschnitt, den man für b einsetzen könnte.
Waagerechte Geraden sind kein Problem. Die Punkte (−1 | 4) und (5 | 4) ergeben die Steigung 0 : 6 = 0, die Gerade ist also y = 0x + 4, einfach y = 4.
Was sind die häufigsten Fehler bei y = mx + b?
Die meisten Fehler bei y = mx + b sind kleine Flüchtigkeitsfehler und keine Verständnisprobleme. Man vertauscht die Koordinaten eines Punktes, subtrahiert oben und unten in der Steigungsformel in unterschiedlicher Reihenfolge oder liest m und b ab, bevor y allein steht. Wer die fertige Gleichung mit einem der Ausgangspunkte überprüft, findet fast alle davon.
Schnelle Lösungen für jeden Fehler
Hier sind die Fehler, die immer wieder vorkommen, jeweils mit einer schnellen Lösung.
- x und y in einem Punkt verwechseln. (5 | 7) bedeutet x = 5 und y = 7. Denk beim Lesen „erst nach rechts, dann nach oben“.
- Die Reihenfolge beim Subtrahieren ändern. Wenn du oben 9 − 5 rechnest, rechne unten 3 − 1, beide Male mit demselben Punkt zuerst.
- m und b vertauschen. Bei y = 4 + 3x ist die Steigung trotzdem 3, denn m ist die Zahl vor dem x, egal wo sie steht.
- Ein Minuszeichen vergessen. Bei y = −x + 2 ist die Steigung −1, nicht 1.
- Glauben, ein Bruch müsse falsch sein. Steigungen wie 3/4 oder −2/3 sind genauso richtig wie 2.
y = mx + b üben, bis es von selbst geht
Geraden schnell zu lesen lernt man, indem man viele davon sieht. Im Spiel zu linearen Funktionen ist jeder Angriff eine Frage zu einer Geraden, so übst du, Steigungen und Achsenabschnitte zu erkennen, ohne dass es sich nach Hausaufgaben anfühlt.
Nach b auflösen ist auch nur eine kleine Gleichung mit einem Schritt. Wenn du genau da hängen bleibst, ist das Gleichungsspiel ein gutes Aufwärmtraining.
Die Buchstaben unterscheiden sich je nach Land. In Deutschland schreibt man meist y = mx + b (in Bayern oft y = mx + t), in Österreich y = kx + d. In den USA und anderen englischsprachigen Ländern heißt es ebenfalls y = mx + b, in Frankreich und Polen y = ax + b, in Russland y = kx + b und in Italien y = mx + q. Egal welche Buchstaben, die Zahl vor dem x ist immer die Steigung, und die Zahl, die allein steht, zeigt, wo die Gerade die y-Achse schneidet.
Zwei Zahlen beschreiben jede nicht senkrechte Gerade
Jede Gerade, die nicht senkrecht ist, lässt sich als y = mx + b schreiben, also reichen zwei Zahlen, um sie vollständig zu beschreiben. Die Steigung sagt, wie steil sie ist und in welche Richtung sie verläuft, und der y-Achsenabschnitt sagt, wo sie beginnt. Bestimme diese beiden Zahlen, mach die Probe mit einem Punkt, und der Rest ergibt sich.
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