Wie berechnest du die Standardabweichung Schritt für Schritt?
Um die Standardabweichung zu berechnen, bestimmst du den Mittelwert, ziehst ihn von jedem Wert ab, quadrierst jede Differenz und addierst die Quadrate. Teile diese Summe durch die Anzahl der Werte, so erhältst du die Varianz. Zum Schluss ziehst du die Wurzel aus der Varianz. Das Ergebnis ist die Standardabweichung, wieder in der ursprünglichen Einheit der Daten.
Beispiel
Zwei Teams mit je 8 Spielern beantworten dasselbe Quiz mit 10 Fragen. Nimm Team B mit den Punktzahlen 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 und 9.
- Bestimme den Mittelwert. 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40, und 40 : 8 = 5
- Ziehe den Mittelwert von jedem Wert ab. Das ergibt −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
- Quadriere jede Differenz. Das ergibt 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16
- Addiere die Quadrate. 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
- Teile durch die Anzahl der Werte. 32 : 8 = 4, das ist die Varianz
- Ziehe die Wurzel. √4 = 2, die Standardabweichung ist also 2
Dieselbe Rechnung Wert für Wert macht es leichter, den Überblick zu behalten.
- 2 − 5 = −3, und (−3)² = 9
- 4 − 5 = −1, und (−1)² = 1, dreimal
- 5 − 5 = 0, und 0² = 0, zweimal
- 7 − 5 = 2, und 2² = 4
- 9 − 5 = 4, und 4² = 16
Beachte, dass die Differenzen selbst, −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 und 4, zusammen 0 ergeben. Das ist immer so, und es erklärt den Schritt mit dem Quadrieren, wie der nächste Abschnitt zeigt. Für den letzten Schritt brauchst du eine Wurzel, und ein paar Runden Quadratwurzeln helfen dir, sie viel schneller im Kopf zu schätzen.
Wie lautet die Formel für die Standardabweichung?
Die Standardabweichung einer Grundgesamtheit ist σ = √(Σ(x − μ)² : N). Dabei ist x jeder einzelne Wert, μ der Mittelwert, N die Anzahl der Werte, und Σ bedeutet „alles addieren“. Für eine Stichprobe aus einer größeren Gruppe teilst du durch n − 1 statt durch N. Diese Version schreibt man s.
Beispiel
Wenn Team B die ganze Gruppe ist, um die es dir geht, nimm N. Die Varianz ist 32 : 8 = 4, und σ = √4 = 2.
Wenn die 8 Spieler eine Stichprobe sind, die eine ganze Schule vertreten soll, nimm n − 1. Die Varianz ist 32 : 7 ≈ 4,57, und s = √4,57 ≈ 2,14.
Warum teilt man bei einer Stichprobe durch n − 1?
Einer Stichprobe fehlen meist einige der extremsten Werte der ganzen Gruppe, deshalb fällt ihre Streuung oft etwas zu klein aus. Wenn du durch n − 1 teilst, also durch eine etwas kleinere Zahl, wird das Ergebnis etwas größer, und das gleicht den Fehler aus. Bei großen Stichproben wird der Unterschied zwischen beiden Versionen winzig.
Taschenrechner und Tabellenprogramme bieten oft beide Versionen an. Eine Taste oder Funktion mit σ oder „Grundgesamtheit“ teilt durch N, eine mit s oder „Stichprobe“ teilt durch n − 1. Prüfe, welche deine Lehrkraft oder dein Schulbuch erwartet, denn beide sind in ihrer Situation richtig.
Warum quadriert man bei der Standardabweichung die Differenzen?
Die Abweichungen vom Mittelwert ergeben zusammen immer null, weil sich die Werte über dem Mittelwert und die Werte darunter ausgleichen. Durch das Quadrieren wird jede Differenz positiv, sodass sie sich nicht mehr aufheben. Die Wurzel am Ende bringt das Ergebnis dann zurück in die ursprüngliche Einheit, sodass eine Streuung in Punkten auch in Punkten gemessen wird.
Beispiel
Bei Team B waren die Differenzen −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 und 4. Ihre Summe ist 0, also ist auch ihr einfacher Durchschnitt 0, und der sagt nichts über die Streuung. Nach dem Quadrieren werden daraus 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 und 16, zusammen 32.
Das Quadrieren gibt weit entfernten Werten außerdem mehr Gewicht. Das NIST Engineering Statistics Handbook zeigt das anschaulich. Ein Punkt, der 2 Einheiten vom Mittelwert entfernt liegt, trägt 4 zur Summe bei, ein Punkt in 10 Einheiten Entfernung dagegen 100. Deshalb reagiert die Standardabweichung empfindlich auf einen einzelnen Extremwert, etwa eine einzige 0 in einer Gruppe, die sonst gut abgeschnitten hat.
Es gibt ein einfacheres Maß, das ohne Quadrieren auskommt. Die mittlere absolute Abweichung nimmt den Abstand jedes Werts vom Mittelwert, ignoriert die Minuszeichen und bildet daraus den Durchschnitt. Bei Team B ergeben die Abstände 3, 1, 1, 1, 0, 0, 2 und 4 zusammen 12, und 12 : 8 = 1,5. Sie ist von Hand leichter zu berechnen, aber auf der Standardabweichung bauen die meisten Statistikwerkzeuge und Formeln auf.
Wann ist eine Standardabweichung hoch oder niedrig?
Es gibt keine feste Zahl, ab der eine Standardabweichung als hoch oder niedrig gilt. Es hängt davon ab, wie groß die Werte sind und was sie messen. Eine Standardabweichung von 2 Punkten ist groß bei einem Quiz mit höchstens 10 Punkten, aber winzig bei höchstens 1.000 Punkten. Vergleiche sie mit dem Mittelwert und mit dem Bereich der möglichen Werte.
Beispiel
Vergleiche jetzt Team B mit Team A aus demselben Quiz.
- Team A: 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7
- Team B: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
Beide Teams haben den Mittelwert 5, denn jede Liste ergibt zusammen 40, und 40 : 8 = 5. Die Punktzahlen von Team A drängen sich aber um die 5, während die von Team B von 2 bis 9 verstreut sind. Die Standardabweichung von Team A beträgt 1 Punkt, die von Team B 2 Punkte.
Nach dem Mittelwert allein würden diese Teams gleich aussehen. Die Standardabweichung zeigt, dass Team A sehr gleichmäßig ist, während bei Team B einige Spieler weit vorne und einige weit hinten liegen.
Noch ein Beispiel
Zwei Bäckereien verkaufen beide Brote mit einem Durchschnittsgewicht von 500 g. Bei der ersten beträgt die Standardabweichung 5 g, fast jedes Brot wiegt also ungefähr 500 g. Bei der zweiten sind es 40 g, manche Brote sind also deutlich leichter und manche schwerer. Die Mittelwerte stimmen überein, aber die erste Bäckerei ist viel gleichmäßiger.
Eine niedrige Standardabweichung ist nicht immer besser. In einer Klasse kann eine hohe Standardabweichung bei Testergebnissen einfach zeigen, dass die Kinder an sehr unterschiedlichen Punkten stehen, und das ist für eine Lehrkraft gut zu wissen. In einer Fabrik bedeutet eine niedrige Standardabweichung meist, dass die Maschinen zuverlässig arbeiten. Die Zahl beschreibt die Streuung, und der Zusammenhang entscheidet, ob diese Streuung eine gute Nachricht ist.
Eine Standardabweichung kann nie negativ sein, weil sie aus der Wurzel von quadrierten Zahlen entsteht. Sie ist nur dann 0, wenn alle Werte gleich sind.
Was bedeutet die 68-95-99,7-Regel?
Bei Daten, die einer Normalverteilung folgen, also der bekannten Glockenkurve, liegen etwa 68 % der Werte höchstens eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt. Etwa 95 % liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen und etwa 99,7 % innerhalb von drei. Das nennt man die empirische Regel, und sie macht aus einer Standardabweichung ein schnelles Bild der Daten.
Beispiel
Angenommen, die Zeiten für einen 1-km-Lauf in einer großen Gruppe folgen einer Glockenkurve mit dem Mittelwert 6 Minuten und der Standardabweichung 1 Minute. Dann kommen etwa 68 % der Läufer zwischen 5 und 7 Minuten ins Ziel. Etwa 95 % kommen zwischen 4 und 8 Minuten an, und fast alle zwischen 3 und 9 Minuten.
Die Regel funktioniert nur bei glockenförmigen Daten gut. Kleine Gruppen wie die beiden Quizteams folgen ihr selten genau. Bei schiefen Daten, etwa Einkommen oder Wartezeiten, können Mittelwert und Standardabweichung ein irreführendes Bild geben, und Median und Spannweite beschreiben die Daten oft besser.
Der Mittelwert ist der Ausgangspunkt jeder Standardabweichung, deshalb hilft es, Durchschnitte schnell auszurechnen. Im Statistikspiel ist jeder Angriff in einem Kampf eine Statistikfrage, und einen Mittelwert im Kopf zu bestimmen wird so Teil des Rundensiegs. Kurze, häufige Runden trainieren dieses Tempo besser als eine lange Sitzung.
Die Standardabweichung ist der typische Abstand zum Mittelwert
Die Standardabweichung beantwortet eine Frage. Wie weit ist ein typischer Wert vom Durchschnitt entfernt? Nutze diese Schritte, wann immer du sie von Hand berechnen musst.
- Bestimme den Mittelwert.
- Ziehe den Mittelwert von jedem Wert ab.
- Quadriere jede Differenz.
- Addiere die Quadrate.
- Teile durch N für eine ganze Grundgesamtheit oder durch n − 1 für eine Stichprobe.
- Ziehe die Wurzel.
Ein kleines Ergebnis bedeutet, dass die Werte nah beieinander liegen, ein großes, dass sie weit verstreut sind. Lies es immer zusammen mit dem Mittelwert und der Einheit, denn eine Streuung ergibt nur im Zusammenhang Sinn.
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