Wie berechnet man das Volumen eines Zylinders?
Um das Volumen eines Zylinders zu berechnen, quadrierst du den Radius der kreisförmigen Grundfläche, multiplizierst mit π, also etwa 3,14, und multiplizierst dann mit der Höhe. Das ist die Formel V = πr²h. Schreib das Ergebnis in Kubikeinheiten wie cm³ oder m³, denn das Volumen misst den Raum in einem Körper und keine Länge oder Fläche.
Beispiel
Berechne das Volumen eines Zylinders mit einem Radius von 3 cm und einer Höhe von 10 cm.
- Quadriere den Radius. 3 · 3 = 9
- Multipliziere mit π, um die Grundfläche zu erhalten. 9 · π ≈ 28,27 cm²
- Multipliziere mit der Höhe. 9π · 10 = 90π
- Ergänze die Kubikeinheit. Das Volumen beträgt etwa 282,74 cm³
Du kannst das Ergebnis auch als 90π cm³ stehen lassen. Diese exakte Form vermeidet Rundungen und ist in höheren Klassen üblich.
Der häufigste Fehler ist, den Radius mit 2 zu multiplizieren, statt ihn zu quadrieren. Bei einem Radius von 3 cm ist 3 · 2 = 6, aber 3² = 9. Ein anderer Fehler ist, auch die Höhe zu quadrieren. Nur der Radius wird quadriert, weil nur die Grundfläche ein Kreis ist.
Warum ist das Volumen eines Zylinders πr²h?
Ein Zylinder ist ein Stapel gleicher Kreise, wie ein Stapel Münzen. Jeder Kreis hat den Flächeninhalt πr², und der Stapel ist h Einheiten hoch. Das Volumen ist also die Grundfläche mal die Höhe. Prismen folgen derselben Regel, V = Grundfläche · Höhe.
Beispiel
Stell dir einen Stapel dünner, runder Kekse vor, jeder mit einem Flächeninhalt von 20 cm². Ist der Stapel 5 cm hoch, füllt er 20 · 5 = 100 cm³ Raum. Ein Zylinder mit einer Grundfläche von 20 cm² und einer Höhe von 5 cm hat dasselbe Volumen.
Dieses Bild erklärt auch, was passiert, wenn sich die Form des Zylinders ändert. Verdoppelst du die Höhe, verdoppelst du die Zahl der Schichten, also verdoppelt sich das Volumen. Verdoppelst du den Radius, wird jede Schicht viermal so groß, weil der Radius quadriert wird. Das Volumen wird also viermal so groß.
Der Zylinder passt auch gut zu zwei anderen runden Körpern. Ein Kegel mit derselben Grundfläche und Höhe fasst genau ein Drittel des Zylinders. Eine Kugel, die genau in einen Zylinder passt, fasst zwei Drittel davon. Laut Britannica war Archimedes auf dieses Ergebnis so stolz, dass er es auf seinem Grab festhalten lassen wollte.
Wie berechnet man das Volumen eines Zylinders mit dem Durchmesser?
Um das Volumen aus dem Durchmesser zu berechnen, halbierst du den Durchmesser, um den Radius zu erhalten, und nutzt dann V = πr²h. Der Durchmesser ist die Strecke quer über die kreisförmige Grundfläche durch ihren Mittelpunkt, also doppelt so lang wie der Radius. In einem Schritt lautet die Formel V = πd²h : 4, und sie liefert genau dasselbe Ergebnis.
Beispiel
Eine Dose hat einen Durchmesser von 8 cm und eine Höhe von 12 cm. Halbiere den Durchmesser, dann ist der Radius 4 cm. Dann ist 4² · π · 12 = 192π ≈ 603,19 cm³.
Mit der Formel in einem Schritt ist 8² = 64, dann 64 · π · 12 : 4 = 192π ≈ 603,19 cm³. Beide Wege führen zum selben Ergebnis.
Den Durchmesser direkt in πr²h einzusetzen, ist ein sehr häufiger Fehler. Bei der Dose oben ergibt das 64 · π · 12 ≈ 2.412,74 cm³, also viermal zu viel. Wenn dir ein Ergebnis überraschend groß vorkommt, prüfe, ob du zuerst den Durchmesser halbiert hast.
Wie rechnet man das Volumen eines Zylinders in Liter um?
Um das Volumen eines Zylinders in Liter umzurechnen, berechnest du das Volumen in Kubikzentimetern und teilst durch 1.000, denn 1 Liter sind 1.000 cm³. Liegt das Volumen in Kubikmetern vor, multiplizierst du stattdessen mit 1.000, denn 1 m³ fasst 1.000 Liter. Achte vor dem Start darauf, dass alle Maße dieselbe Einheit haben.
Beispiel
Ein Trinkglas hat innen gemessen einen Durchmesser von 7 cm und eine Höhe von 10 cm.
- Bestimme den Radius. 7 : 2 = 3,5 cm
- Bestimme das Volumen. 3,5² · π · 10 ≈ 384,85 cm³
- Rechne in Liter um. 384,85 : 1.000 ≈ 0,38 Liter, also etwa 385 ml
Für ein größeres Beispiel nimm einen Wassertank mit einem Radius von 0,5 m und einer Höhe von 1,2 m. Sein Volumen ist 0,5² · π · 1,2 ≈ 0,94 m³. Multipliziere mit 1.000, dann fasst der Tank etwa 942 Liter.
Ein häufiges Problem sind gemischte Einheiten, etwa ein Radius in Zentimetern und eine Höhe in Metern. Rechne zuerst alles in eine Einheit um. Der Wechsel zwischen cm³, m³, Millilitern und Litern geht mit ein paar Runden Einheiten umrechnen viel schneller.
Wie berechnet man die Höhe oder den Radius eines Zylinders aus dem Volumen?
Für die Höhe teilst du das Volumen durch die Grundfläche, also h = V : (πr²). Für den Radius teilst du das Volumen durch π mal die Höhe und ziehst dann die Wurzel, also r = √(V : (πh)). Beide Formeln sind einfach V = πr²h rückwärts gerechnet, Schritt für Schritt.
Beispiel
Ein zylindrischer Krug soll 1 Liter fassen, also 1.000 cm³, und sein Radius beträgt 5 cm. Seine Höhe muss 1.000 : (π · 5²) = 1.000 : 78,54 ≈ 12,73 cm betragen.
Jetzt andersherum. Ein Zylinder mit einer Höhe von 10 cm fasst 500 cm³. Sein Radius ist √(500 : (π · 10)) = √15,92 ≈ 3,99 cm.
Um eines der Ergebnisse zu prüfen, setze die Zahlen wieder in V = πr²h ein. Für den Krug gilt π · 5² · 12,73 ≈ 1.000 cm³, die Höhe stimmt also.
Die Formel bleibt am besten hängen, wenn du sie oft und mit verschiedenen Zahlen benutzt. Im Geometrie-Spiel ist jeder Angriff in einem Kampf eine Geometriefrage, deshalb gehört es zum Sieg in einer Runde, πr²h schnell abzurufen. Im Spiel zählt π als 3, also ist jede Antwort eine ganze Zahl, die du im Kopf ausrechnen kannst. Kurze, häufige Runden funktionieren besser als eine lange Sitzung.
Wie berechnet man das Volumen eines Hohlzylinders?
Ein Hohlzylinder, zum Beispiel ein Rohr, ist ein großer Zylinder, aus dessen Mitte ein kleinerer Zylinder entfernt wurde. Berechne das Volumen des äußeren Zylinders, zieh das Volumen des Hohlraums ab, und was übrig bleibt, ist das Material. Als Formel ist das V = π(R² − r²)h, wobei R der äußere Radius und r der innere Radius ist.
Beispiel
Ein Rohr ist 100 cm lang und hat einen äußeren Radius von 5 cm und einen inneren Radius von 4 cm.
- Quadriere beide Radien. 5² = 25 und 4² = 16
- Subtrahiere. 25 − 16 = 9
- Multipliziere mit π und der Länge. 9 · π · 100 = 900π ≈ 2.827,43 cm³
Ein häufiger Fehler ist, die Radien zu subtrahieren, bevor man sie quadriert. Das ergibt (5 − 4)² · π · 100 = 100π ≈ 314,16 cm³, also viel zu wenig. Quadriere zuerst jeden Radius und subtrahiere dann.
Erst die Grundfläche bestimmen, dann mit der Höhe multiplizieren
Jede Aufgabe zum Zylindervolumen läuft auf dieselben zwei Schritte hinaus. Bestimme die kreisförmige Grundfläche und multipliziere sie dann mit der Höhe. Mit dieser Liste findest du den richtigen Ansatz.
- Radius r und Höhe h gegeben: V = πr²h
- Durchmesser d gegeben: r = d : 2, oder V = πd²h : 4
- Höhe gesucht: h = V : (πr²)
- Radius gesucht: r = √(V : (πh))
- Hohlzylinder: V = π(R² − r²)h
- Liter: cm³ : 1.000, oder m³ · 1.000
Schreib das Ergebnis in Kubikeinheiten und rechne erst am Ende in Liter um, wenn das Volumen stimmt.