Was sind ganze Zahlen? Einfach erklärt mit Beispielen

Ganze Zahlen auf der Zahlengeraden

Auf der Zahlengeraden sind die ganzen Zahlen die Punkte mit gleichem Abstand, bei denen du landest, wenn du von 0 aus vorwärts oder rückwärts zählst. Zahlen wie 1/2, 3,5 oder √2 liegen in den Lücken dazwischen, deshalb sind sie keine ganzen Zahlen. Hier erfährst du, wie man sie unterscheidet, warum die Null dazugehört und wie die Vorzeichenregeln wirklich funktionieren.

Woran erkennt man, ob eine Zahl eine ganze Zahl ist?

Eine Zahl ist eine ganze Zahl, wenn du sie ohne Bruch und ohne Nachkommastellen schreiben kannst. Sie kann positiv, negativ oder null sein. Das Lehrbuch OpenStax Prealgebra 2e (auf Englisch) fasst es einfach zusammen: Ganze Zahlen sind die Zählzahlen, ihre Gegenzahlen und die Null. Also sind 7, −7 und 0 ganze Zahlen, 7,5 dagegen nicht.

Beispiel

Probier diese kurzen Tests aus.

• −12 ist eine ganze Zahl, weil sie die Gegenzahl der Zählzahl 12 ist.
• 0 ist eine ganze Zahl.
• 3,5 ist keine ganze Zahl, weil sie Nachkommastellen hat.
• 1/2 ist keine ganze Zahl.
• 8/2 ist eine ganze Zahl, weil 8/2 = 4.
• √9 ist eine ganze Zahl, weil √9 = 3.
• √2 ist keine ganze Zahl, weil sie ungefähr 1,41 ist.

Die letzten Beispiele zeigen eine nützliche Gewohnheit. Rechne zuerst den Wert aus und entscheide dann. Eine Zahl kann wie ein Bruch oder eine Wurzel aussehen und trotzdem eine ganze Zahl sein.

Ist 0 eine ganze Zahl?

Ja, 0 ist eine ganze Zahl. Sie liegt in der Mitte der Zahlengeraden, zwischen den negativen und den positiven ganzen Zahlen. Die Null ist weder positiv noch negativ, wie auch OpenStax ausdrücklich schreibt. Sie ist aber gerade, denn 0 = 2 · 0, sie lässt sich also ohne Rest durch 2 teilen.

Sind negative Zahlen ganze Zahlen?

Negative Zahlen sind nur dann ganze Zahlen, wenn sie keinen Bruchteil und keine Nachkommastellen haben. −5 und −100 sind ganze Zahlen. −2,5 und −3/4 sind negativ, aber keine ganzen Zahlen. Derselbe Test funktioniert für jede Zahl, egal welches Vorzeichen sie hat.

Was ist der Unterschied zwischen ganzen Zahlen und natürlichen Zahlen?

Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen, mit denen man zählt, also 1, 2, 3 und so weiter, ohne negative Zahlen. Nimmt man die 0 dazu, schreibt man in der Schule meist ℕ₀. Die ganzen Zahlen enthalten alle natürlichen Zahlen, die 0 und zusätzlich die negativen Zahlen −1, −2, −3 und so weiter. Also ist −4 eine ganze Zahl, aber keine natürliche Zahl. Der Name passt gut, denn eine ganze Zahl ist eben "ganz", ohne Bruchstücke oder Kommastellen.

Beispiel

So passen die wichtigsten Zahlenmengen ineinander.

• Natürliche Zahlen ℕ: 1, 2, 3, 4, …
• Natürliche Zahlen mit Null ℕ₀: 0, 1, 2, 3, 4, …
• Ganze Zahlen ℤ: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
• Rationale Zahlen: alle Zahlen, die man als Bruch aus ganzen Zahlen schreiben kann, zum Beispiel 1/2, −3/4 und 7 (das ist 7/1)

Das Zeichen ℤ für die ganzen Zahlen kommt übrigens vom deutschen Wort Zahlen. Bei den natürlichen Zahlen gibt es keine völlige Einigkeit, denn manche Bücher beginnen bei 0 und andere bei 1. Schau daher nach, welche Schreibweise das Schulbuch deines Kindes verwendet.

Wo begegnen uns ganze Zahlen im Alltag?

Ganze Zahlen tauchen immer dann auf, wenn man von einem Nullpunkt aus nach oben und unten zählt. Temperaturen unter dem Gefrierpunkt, Stockwerke unter der Erde, Tiefen unter dem Meeresspiegel und die Tordifferenz einer Fußballmannschaft sind ganze Zahlen, die negativ sein können. In jedem Fall ist 0 ein Bezugspunkt und nicht "nichts".

Beispiel

Morgens sind es −4 °C, bis zum Mittag steigt die Temperatur um 7 Grad. Starte bei −4 und zähle 7 Schritte auf der Zahlengeraden nach oben: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. Mittags sind es 3 °C, also −4 + 7 = 3.

Im Aufzug ist das Erdgeschoss oft 0, die Tiefgarage liegt vielleicht im Stockwerk −2 und der fünfte Stock ist 5. Von −2 bis 5 fährst du 7 Stockwerke, denn 5 − (−2) = 7.

Wie addiert und subtrahiert man ganze Zahlen?

Zum Addieren ganzer Zahlen stellst du dir eine Zahlengerade vor. Addierst du eine positive Zahl, gehst du nach rechts, addierst du eine negative Zahl, gehst du nach links. Subtrahieren ist das Gegenteil von Addieren, also bewegt dich das Subtrahieren einer negativen Zahl nach rechts. Deshalb wird das Ergebnis größer, wenn du eine negative Zahl abziehst.

Beispiel

Rechne −3 + 5. Starte bei −3 und gehe 5 Schritte nach rechts. Du kommst an −2, −1, 0 und 1 vorbei und bleibst bei 2 stehen. Also ist −3 + 5 = 2.

Noch ein paar zum Üben.

• −6 + 2 = −4, weil du von −6 aus mit 2 Schritten nach rechts bei −4 landest.
• −2 − 5 = −7, weil du von −2 aus mit 5 Schritten nach links bei −7 landest.
• 4 − (−3) = 7, weil −3 subtrahieren dasselbe ist wie 3 addieren.

Warum wird das Ergebnis größer, wenn man eine negative Zahl subtrahiert?

Subtrahieren bedeutet "Wie groß ist der Unterschied?". Der Abstand zwischen 4 und −3 auf der Zahlengeraden beträgt 7 Schritte, also ist 4 − (−3) = 7. OpenStax schreibt die allgemeine Regel als a − (−b) = a + b. Viele Kinder kommen bei −5 + 4 ins Stocken, weil sie ein Pluszeichen sehen und eine größere Zahl erwarten. Wer bei −5 startet und 4 Schritte nach rechts geht, sieht, dass das Ergebnis −1 ist.

Warum ist minus mal minus plus?

Wenn du zwei ganze Zahlen multiplizierst, ist das Ergebnis positiv, wenn die Vorzeichen gleich sind, und negativ, wenn sie verschieden sind. Dass minus mal minus plus ergibt, folgt aus einem Muster. Jedes Mal, wenn die erste Zahl um 1 kleiner wird, ändert sich das Ergebnis um denselben Betrag, und dieses Muster geht nur weiter, wenn das Ergebnis positiv wird.

Beispiel

Sieh dir an, was mit 3 · (−2) passiert, wenn die erste Zahl jedes Mal um 1 kleiner wird.

• 3 · (−2) = −6
• 2 · (−2) = −4
• 1 · (−2) = −2
• 0 · (−2) = 0
• (−1) · (−2) = 2
• (−2) · (−2) = 4

Jedes Ergebnis ist um 2 größer als das vorherige. Damit das Muster über die Null hinaus weitergeht, muss (−1) · (−2) gleich 2 sein. Man kann es sich auch so vorstellen: Die Multiplikation mit −1 dreht dich auf der Zahlengeraden um. Drehst du dich zweimal um, schaust du wieder in dieselbe Richtung.

Gilt bei der Division dieselbe Vorzeichenregel?

Ja. (−12) : 3 = −4 und (−12) : (−3) = 4, nach derselben Regel für gleiche und verschiedene Vorzeichen. Einen Unterschied gibt es aber. Addierst, subtrahierst oder multiplizierst du zwei ganze Zahlen, kommt immer eine ganze Zahl heraus, beim Dividieren nicht immer. 8 : 2 = 4 ist eine ganze Zahl, 7 : 2 = 3,5 dagegen nicht.

Wie wird man schneller beim Rechnen mit ganzen Zahlen?

Schnell wird man mit ganzen Zahlen, wenn man viele kurze Aufgaben rechnet, bis man die Zahlengerade im Kopf hat. Im Spiel mit negativen Zahlen ist jeder Angriff eine schnelle Rechnung mit negativen Zahlen, sodass Kinder die Vorzeichenregeln üben, während sie damit beschäftigt sind, den Kampf zu gewinnen.

In der Runde oben ist −17 subtrahieren dasselbe wie 17 addieren, also −1 − (−17) = −1 + 17 = 16.

Den Abstand einer Zahl von der Null nennt man ihren Betrag, der Betrag von −5 ist also 5. Das ist meist das nächste Thema nach den ganzen Zahlen, und das Spiel zum Betrag macht daraus eine Reihe schneller Runden.

Ganze Zahlen sind die Zahlen, die du vorwärts oder rückwärts zählend erreichst

Jede ganze Zahl ist ein Schritt, den du erreichst, wenn du von 0 aus zählst, nach rechts für positive und nach links für negative Zahlen. Die Null liegt in der Mitte und gehört auch dazu. Wenn ein Kind sich diese Zahlengerade vorstellen kann, sind die Regeln fürs Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren keine Regeln zum Auswendiglernen mehr, sondern ergeben Sinn.