Was ist Rückwärtseinsetzen?

Rückwärtseinsetzen löst ein Dreieckssystem von der letzten Gleichung nach oben. Die unterste Zeile enthält nur eine Unbekannte, also löst man sie zuerst. Dieser Wert wandert in die Zeile darüber, die dann nur noch eine Unbekannte hat, und so weiter bis ganz oben. Lautet die letzte Zeile 2x₄ = 10, dann ist x₄ = 5, und die Zeile davor verwendet diese 5.

Wie bestimmt man den Rang einer Matrix?

Um den Rang einer Matrix zu bestimmen, formst du sie um, bis eine Treppe aus Pivotelementen erscheint, und zählst die Zeilen, die nicht nur aus Nullen bestehen. Eine Zeile, die zu Nullen wird, war eine Mischung der anderen und bringt nichts Neues. Eine 3×3-Matrix, deren dritte Zeile die Summe der ersten beiden ist, hat Rang 2.

Warum bekomme ich beim Umformen das falsche Vorzeichen?

Falsche Vorzeichen beim Umformen kommen fast immer vom Abziehen eines negativen Eintrags. Steht in Zeile 1 eine −3 und lautet die Umformung R₂ − 2·R₁, ziehst du 2 × (−3) = −6 ab, addierst also 6. Schreib jedes Produkt mit seinem Vorzeichen in Klammern, bevor du abziehst, und der Fehler verschwindet.

Wann lernt man das Gaußsche Eliminationsverfahren?

In vielen Schulsystemen kommt das Gaußsche Eliminationsverfahren mit einer ersten Vorlesung über lineare Algebra, manche Oberstufen behandeln es aber schon an 3×3-Systemen. Hier richten sich die Stufen an 18-Jährige. Wer sicher mit negativen Zahlen und einfachen Gleichungen umgeht, kann mit der ersten Stufe beginnen.

Ist dieses Spiel zum Zeilenumformen kostenlos und für die Klasse geeignet?

Ja, es ist kostenlos in jedem Browser auf Laptop, Tablet oder Handy, ganz ohne Installation. Zum Üben der Zeilenumformung bekommt jedes Team ein 3×3-System und ruft beim Eliminieren jeden neuen Eintrag laut aus. Das erste Team mit einer sauberen Treppe erklärt dem Rest seine Schritte. Der Schulplan mit Preis pro Schüler ergänzt ein Lehrkräfte-Dashboard, das zeigt, wer schneller wird.

Matheübung · neu gedacht

Gauß-Verfahren Spiel

Hier kommt das Gaußsche Eliminationsverfahren Eintrag für Eintrag: die Zahl, die eine Zeilenumformung hinterlässt, eine Unbekannte von einer Treppe abgelesen oder der Rang einer ganzen Matrix. Dein Gegner sieht dieselbe Matrix, also gilt: Je sauberer du rechnest, desto früher schlägt dein Kämpfer zu.

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Was ist das Gauß-Verfahren?

Das Gauß-Verfahren löst ein lineares Gleichungssystem, indem es seine Matrix, die Tabelle der Koeffizienten, Zeile für Zeile aufräumt. Du darfst zwei Zeilen tauschen, eine Zeile vervielfachen oder von einer Zeile ein Vielfaches einer anderen abziehen. Schritt für Schritt sammeln sich Nullen unter einer Treppe, und dann liest man die Lösungen von unten ab.

Alle Stufen von Gauß-Verfahren

Beispiel: R₂ − 5·R₁ bei [ 1 2 4 8 ; 5 4 6 7 ; 5 4 5 8 ]

Gefragt ist a₂₂, der neue Eintrag in Zeile 2, Spalte 2, nach R₂ − 5·R₁.
In dieser Spalte steht in Zeile 2 eine 4 und in Zeile 1 eine 2.
Zieh fünfmal den Eintrag aus Zeile 1 ab: 4 − 5 × 2 = 4 − 10 = −6.
Der neue Eintrag ist −6, also tippst du ihn mit Minuszeichen ein.

Schritt für Schritt lernen

Das Gauß-Verfahren räumt eine Matrix Zeile für Zeile auf. Der Zug, den es am häufigsten benutzt, ist: Nimm eine Zeile und zieh ein Vielfaches einer anderen Zeile davon ab. Geschrieben Z₂ − 3·Z₁, heißt das: neue Zeile 2 = Zeile 2 minus 3 mal Zeile 1.

Du machst es Eintrag für Eintrag, Spalte für Spalte. Um den neuen Eintrag in Zeile 2, Spalte 3 zu finden, nimm den alten Eintrag von Zeile 2 in Spalte 3 und zieh 3 mal den Eintrag von Zeile 1 in Spalte 3 ab. Sind das 7 und 4, ist der neue Eintrag 7 − 3 × 4 = 7 − 12 = −5. Das k wird so gewählt, dass der erste Eintrag der Zeile 0 wird – das ist der Sinn des Zugs –, aber du brauchst nur den einen Eintrag, den die Frage nennt.

Finde die beiden Einträge in der gefragten Spalte, nimm den oberen mal k, zieh ab und tippe den neuen Eintrag.

Tipps und häufige Fehler

Lies a₃₂ wie einen Kinoplatz: zuerst die Reihe, dann der Sitz. Zeile 3, Spalte 2, niemals umgekehrt.
Ein häufiger Fehler ist, beide Zeilen zu ändern. R₂ − 5·R₁ schreibt nur Zeile 2 neu; Zeile 1 bleibt, wie sie ist, und leiht nur ihre Zahlen.
Schreib ein kleines System auf Papier, etwa x + y = 5 und x − y = 1, und tretet gegeneinander an, wer x zuerst eliminiert.

So wird gespielt

Jede Runde zeigt eine Matrix mit einer Frage daneben: eine Zeilenumformung und der Eintrag, den sie ändert, eine Unbekannte aus einem Dreieckssystem oder ein Rang. Tipp die Zahl vor deinem Gegner ein, und Knoblauch landet den Treffer, umso härter, je schneller du warst. Eine falsche Antwort betäubt dich kurz.

— Kurze Antworten —

Gauß-Verfahren: das kurze FAQ

Was ist Rückwärtseinsetzen?: Rückwärtseinsetzen löst ein Dreieckssystem von der letzten Gleichung nach oben. Die unterste Zeile enthält nur eine Unbekannte, also löst man sie zuerst. Dieser Wert wandert in die Zeile darüber, die dann nur noch eine Unbekannte hat, und so weiter bis ganz oben. Lautet die letzte Zeile 2x₄ = 10, dann ist x₄ = 5, und die Zeile davor verwendet diese 5.
Wie bestimmt man den Rang einer Matrix?: Um den Rang einer Matrix zu bestimmen, formst du sie um, bis eine Treppe aus Pivotelementen erscheint, und zählst die Zeilen, die nicht nur aus Nullen bestehen. Eine Zeile, die zu Nullen wird, war eine Mischung der anderen und bringt nichts Neues. Eine 3×3-Matrix, deren dritte Zeile die Summe der ersten beiden ist, hat Rang 2.
Warum bekomme ich beim Umformen das falsche Vorzeichen?: Falsche Vorzeichen beim Umformen kommen fast immer vom Abziehen eines negativen Eintrags. Steht in Zeile 1 eine −3 und lautet die Umformung R₂ − 2·R₁, ziehst du 2 × (−3) = −6 ab, addierst also 6. Schreib jedes Produkt mit seinem Vorzeichen in Klammern, bevor du abziehst, und der Fehler verschwindet.
Wann lernt man das Gaußsche Eliminationsverfahren?: In vielen Schulsystemen kommt das Gaußsche Eliminationsverfahren mit einer ersten Vorlesung über lineare Algebra, manche Oberstufen behandeln es aber schon an 3×3-Systemen. Hier richten sich die Stufen an 18-Jährige. Wer sicher mit negativen Zahlen und einfachen Gleichungen umgeht, kann mit der ersten Stufe beginnen.
Ist dieses Spiel zum Zeilenumformen kostenlos und für die Klasse geeignet?: Ja, es ist kostenlos in jedem Browser auf Laptop, Tablet oder Handy, ganz ohne Installation. Zum Üben der Zeilenumformung bekommt jedes Team ein 3×3-System und ruft beim Eliminieren jeden neuen Eintrag laut aus. Das erste Team mit einer sauberen Treppe erklärt dem Rest seine Schritte. Der Schulplan mit Preis pro Schüler ergänzt ein Lehrkräfte-Dashboard, das zeigt, wer schneller wird.

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