Hoe bereken je de omtrek van een cirkel met de straal of diameter?
Om de omtrek van een cirkel te vinden, vermenigvuldig je de diameter met π, ongeveer 3,14, dus C = πd. De diameter is de afstand recht door het middelpunt, van rand tot rand. Weet je alleen de straal, de afstand van het middelpunt tot de rand, verdubbel die dan eerst of gebruik C = 2πr. Beide manieren geven dezelfde lengte.
Voorbeeld
Bereken de omtrek van een cirkel met een straal van 4 cm.
- Verdubbel de straal om de diameter te krijgen. 2 × 4 = 8 cm
- Vermenigvuldig met π. 8 × π ≈ 25,13
- Zet de eenheid erbij. De omtrek is ongeveer 25,13 cm
Je kunt het antwoord ook laten staan als 8π cm. Deze exacte vorm zie je vaak in hogere klassen, omdat je dan niet hoeft af te ronden.
Met de diameter is het één stap. Een ronde tafel met een diameter van 1,2 m heeft een omtrek van 1,2 × π ≈ 3,77 m, dus een sierlijst voor de rand moet iets minder dan 4 m lang zijn.
Gebruik je 3,14 of de π-knop?
Allebei is goed, zolang je doet wat de opgave vraagt. π is irrationaal, dus de decimalen houden nooit op en herhalen zich niet, en Britannica schrijft dat 3,14 of 22/7 de gebruikelijke benaderingen in het dagelijks leven zijn. Met 3,14 geeft het eerste voorbeeld 8 × 3,14 = 25,12 cm. Met de π-knop op je rekenmachine krijg je 25,13 cm. Het kleine verschil komt alleen door het afronden van π.
De meest gemaakte fout
De fout die op toetsen de meeste punten kost, is de diameter invullen in C = 2πr. Bij een diameter van 10 cm geeft dat 2 × π × 10 ≈ 62,83 cm, twee keer te groot. Het juiste antwoord is 10 × π ≈ 31,42 cm. Heb je de diameter, gebruik dan πd. Heb je de straal, gebruik dan 2πr.
Waarom is de omtrek π keer de diameter?
π is gedefinieerd als de omtrek van een cirkel gedeeld door de diameter. Elke cirkel, van een munt tot een planeet, heeft dezelfde vorm, dus deze verhouding verandert nooit. Daarom werkt C = πd voor elke cirkel. Rol een cirkel één volledige omwenteling over een lijn, en hij legt iets meer dan drie diameters af.
Voorbeeld
Stel je een munt voor met een diameter van 2 cm. Zet een stip op de rand en rol de munt precies één omwenteling langs een liniaal. De stip komt weer neer bij ongeveer 6,28 cm, want 2 × π ≈ 6,28. Drie diameters zijn 6 cm, en het kleine extra stukje is de 0,28 cm die van 3 dan 3,14 maakt.
Je kunt dit thuis testen met een rond blik, een stuk touw en een liniaal, of met elk rond voorwerp en een meetlint. Meet de omtrek en de diameter en deel dan het ene door het andere. De uitkomst ligt altijd dicht bij 3,14, en de kleine fouten komen door het meten met de hand.
De Griekse letter π werd volgens Britannica voor het eerst voor deze verhouding gebruikt door William Jones in 1706. Hetzelfde artikel beschrijft hoe Archimedes π insloot tussen 223/71 en 22/7 door veelhoeken binnen en buiten een cirkel te tekenen.
Hoe vind je de diameter of straal met de omtrek?
Om de diameter te vinden met de omtrek, deel je de omtrek door π, dus d = C : π. Voor de straal deel je in plaats daarvan door 2π, dus r = C : (2π). Dit werkt omdat je de formule voor de omtrek gewoon andersom gebruikt. Meet de afstand rondom, en de afstand dwars volgt vanzelf.
Voorbeeld
Een boomstam is 150 cm rond. De diameter is 150 : π ≈ 47,75 cm, en de straal is de helft daarvan, ongeveer 23,87 cm.
Dit is een handige truc voor alles wat je niet recht dwars kunt meten, zoals een boom, een pilaar of een buis. Een meetlint om de buitenkant en één deling geven je de diameter.
Hoe vind je de omtrek met de oppervlakte?
Om de omtrek te vinden met de oppervlakte, zoek je eerst de straal. Deel de oppervlakte door π en neem dan de wortel, dus r = √(A : π). Gebruik daarna C = 2πr. Houd de volledige straal in je rekenmachine en rond pas aan het eind af, zodat kleine afrondingsfouten zich niet opstapelen.
Voorbeeld
Een cirkel heeft een oppervlakte van 100 cm².
- Zoek de straal. 100 : π ≈ 31,83, en √31,83 ≈ 5,64 cm
- Zoek de omtrek. 2 × π × 5,642 ≈ 35,45 cm
Er is ook een formule in één stap, C = 2√(πA). Met 100 cm² geeft die 2 × √(π × 100) ≈ 35,45 cm, hetzelfde antwoord. Gaan wortels nog traag, dan maken een paar rondjes wortels deze stap veel sneller.
Hoe ver komt een wiel in één omwenteling?
Een wiel legt bij elke volledige omwenteling één omtrek af, zolang het rolt zonder te slippen. De afstand voor één omwenteling is dus π keer de diameter van het wiel. Een fietswiel met een diameter van 70 cm komt ongeveer 2,2 m vooruit per omwenteling, en 1.000 omwentelingen brengen het ongeveer 2,2 km verder.
Voorbeeld
Voor het wiel van 70 cm is één omwenteling 70 × π ≈ 219,9 cm, of ongeveer 2,2 m. Om 1 km af te leggen, dat is 100.000 cm, draait het wiel 100.000 : 219,9 ≈ 455 keer.
Precies zo schatten veel fietscomputers en stappentellers de afstand. Ze tellen omwentelingen of stappen en vermenigvuldigen die met een bekende lengte. Het is ook een leuke manier om kinderen te laten zien dat π niet alleen een getal voor school is.
De formule blijft het best hangen als je hem vaak gebruikt, met verschillende getallen. In het meetkundespel is elke aanval in een gevecht een vraag over vormen, dus C = πd snel paraat hebben hoort bij het winnen van een ronde. In het spel telt π als 3, dus elk antwoord is een heel getal dat je uit je hoofd kunt uitrekenen. Korte, frequente rondes werken beter dan één lange sessie.
Wat is de omtrek van een halve cirkel?
De omtrek van een halve cirkel is de helft van de omtrek van de cirkel plus de rechte rand, dus P = πr + 2r. Een veelgemaakte fout is stoppen bij πr en de diameter aan de onderkant vergeten. Bij een straal van 5 cm is het gebogen deel 5π ≈ 15,71 cm, en met 10 cm erbij kom je op ongeveer 25,71 cm.
Wat heeft de omtrek met de eenheidscirkel te maken?
Een eenheidscirkel heeft een straal van 1, dus de omtrek is precies 2π. Daarom is één volledige omwenteling in de goniometrie 2π radialen. De eenheidscirkel gebruikt dit idee om hoeken te meten als afstanden langs de rand.
Weet je de straal of de diameter, dan weet je de omtrek
Bijna elke vraag over de omtrek wordt één vermenigvuldiging zodra je de straal of de diameter weet. Gebruik dit lijstje om de juiste stap te kiezen.
- Straal r gegeven: C = 2πr
- Diameter d gegeven: C = πd
- Omtrek gegeven, diameter gezocht: d = C : π
- Omtrek gegeven, straal gezocht: r = C : (2π)
- Oppervlakte A gegeven: r = √(A : π), daarna C = 2πr
- Halve cirkel: P = πr + 2r
Het antwoord is altijd een lengte, dus schrijf het in cm, m of een andere lengte-eenheid, nooit in vierkante eenheden.
Train hierna verder