Phi, het getal met een grote reputatie
Wiskundigen schrijven het met de Griekse letter φ (phi), en het staat erom bekend dat het zich verstopt in zonnebloemen, beroemde gebouwen en mooie gezichten. Een deel van die reputatie is verdiend, maar een groot deel niet. Eerst de wiskunde, daarna het eerlijke verhaal over waar de gulden snede echt opduikt.
Hoe bereken je de gulden snede?
De gulden snede bereken je met de formule φ = (1 + √5) : 2. De wortel uit 5 is ongeveer 2,236. Je telt er 1 bij op, deelt door 2 en krijgt ongeveer 1,618. De decimalen houden nooit op en herhalen zich nooit, omdat φ een irrationaal getal is. Voor de meeste dagelijkse toepassingen is 1,618 nauwkeurig genoeg.
Voorbeeld
Reken het met een rekenmachine uit in drie stappen.
- √5 ≈ 2,236
- 1 + 2,236 = 3,236
- 3,236 : 2 = 1,618
Dus φ ≈ 1,618. Wil je het preciezer, dan is φ = 1,6180339887 op tien decimalen.
Waar komt de formule voor φ vandaan?
Neem een lijnstuk en verdeel het in een lang deel a en een kort deel b. De verdeling is gulden als het hele lijnstuk zich tot het lange deel verhoudt zoals het lange deel tot het korte deel. In symbolen: (a + b) : a = a : b. Die gemeenschappelijke waarde is φ.
Maak nu het korte deel 1, zodat het lange deel φ is. De regel wordt (φ + 1) : φ = φ. Vermenigvuldig beide kanten met φ en je krijgt φ² = φ + 1, oftewel φ² − φ − 1 = 0. Dat is een kwadratische vergelijking, en de positieve oplossing is (1 + √5) : 2. Britannica (in het Engels) beschrijft dezelfde herschrijving tot x² − x − 1 = 0.
Waarom lijken 1,618, 0,618 en 2,618 zo op elkaar?
Omdat φ² = φ + 1, tel je bij het kwadrateren van φ gewoon 1 op. Dus φ² ≈ 2,618. Deel je dezelfde vergelijking door φ, dan krijg je φ = 1 + 1 : φ, en dat betekent 1 : φ = φ − 1 ≈ 0,618. Daarom hebben drie verschillende getallen dezelfde decimalen.
Waarom is de gulden snede zo bijzonder?
De gulden snede is bijzonder omdat φ het enige positieve getal is waarvan het kwadraat het getal plus één is en waarvan het omgekeerde het getal min één is. Bovendien verbindt het meetkunde en tellen. Dezelfde waarde verschijnt als je een lijnstuk evenwichtig verdeelt, als je een regelmatige vijfhoek tekent en als je opeenvolgende Fibonaccigetallen op elkaar deelt.
Voorbeeld
In een regelmatige vijfhoek met zijde 1 is elke diagonaal (het lijnstuk van een hoekpunt naar een niet-aangrenzend hoekpunt) precies φ lang, ongeveer 1,618. Daarom zit de vijfpuntige ster in een vijfhoek, het pentagram, vol gulden verhoudingen. Elke punt van de ster wordt door de andere lijnen volgens de gulden snede verdeeld.
Het idee is heel oud. Volgens Britannica gaat het terug op Euclides, die het in zijn Elementen de verdeling in "uiterste en middelste reden" noemde.
Is de gulden snede hetzelfde als pi?
Nee. Pi (π ≈ 3,14) is de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en de diameter, terwijl de gulden snede (φ ≈ 1,618) voortkomt uit het verdelen van een lijnstuk. Allebei zijn het irrationale getallen met oneindig veel decimalen, en waarschijnlijk worden ze daarom door elkaar gehaald. Ze hebben verschillende waarden en komen uit verschillende figuren.
Zijn de gulden snede en de rij van Fibonacci hetzelfde?
De gulden snede en de rij van Fibonacci zijn niet hetzelfde, maar ze hangen nauw samen. De rij van Fibonacci is een reeks hele getallen waarin elk getal de som is van de twee getallen ervoor. Deel je elk Fibonaccigetal door het getal ervoor, dan komen de uitkomsten steeds dichter bij de gulden snede.
Voorbeeld
Neem opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonacci en deel ze op elkaar.
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 89 : 55 ≈ 1,618
De uitkomsten springen boven en onder 1,618 en komen snel tot rust. Bij 144 : 89 klopt de uitkomst al op drie decimalen met φ. Dit is een leuke rekenmachineopdracht voor kinderen, omdat ze uit gewone deelsommen een patroon zien ontstaan.
De regel achter een rij getallen ontdekken is een vaardigheid die veel verder gaat dan Fibonacci. In het spel met getallenrijen is elke aanval een rij met een ontbrekend getal, en jij moet de regel eerder zien dan je tegenstander.
In de ronde hierboven is elk getal 5 meer dan het vorige, dus het ontbrekende getal is 24.
Hoe teken je een gulden rechthoek?
Bij een gulden rechthoek is de lange zijde ongeveer 1,618 keer zo lang als de korte zijde. Om er een te tekenen vermenigvuldig je de korte zijde met 1,618, of je deelt de lange zijde door 1,618 om de korte zijde te vinden. Je kunt hem ook precies construeren met een passer, vanuit een vierkant, zonder ook maar één decimaal te meten.
Voorbeeld
Is de korte zijde 10 cm, dan is de lange zijde 10 × 1,618 ≈ 16,2 cm. Is een webpagina 1000 pixels breed en wil je een gulden verdeling, dan deel je door φ. Je krijgt een hoofdkolom van ongeveer 618 pixels en een zijkolom van ongeveer 382 pixels.
Zo teken je hem met een passer.
- Teken een vierkant met zijde 1 (bijvoorbeeld 1 decimeter).
- Zet een stip in het midden van de onderste zijde.
- Zet de punt van de passer op dat midden en open hem tot het bovenste hoekpunt aan de overkant. Die afstand is √5 : 2, ongeveer 1,118.
- Draai de passer omlaag tot op de verlengde onderste lijn. De nieuwe lengte is 0,5 + 1,118 = 1,618.
- Maak de rechthoek af. De zijden zijn 1 en φ.
Knip je het vierkant van een gulden rechthoek af, dan is het stuk dat overblijft weer een gulden rechthoek. Herhaal dat, teken in elk vierkant een kwartcirkel en je krijgt de spiraal die je vaak ziet op afbeeldingen van de gulden snede. Zulke meetkunde zit ook in het meetkundespel, waarin vormen, hoeken en oppervlaktes snelle uitdagingen worden.
Waar komt de gulden snede voor in de natuur?
Het duidelijkste voorbeeld in de natuur is de manier waarop veel planten hun bladeren en zaden rangschikken. Elk nieuw zaadje in een zonnebloem groeit met ongeveer dezelfde draai ten opzichte van het vorige, zo'n 137,5°. Deze gulden hoek pakt de zaden dicht op elkaar zonder gaten, en levert spiralen op waarvan het aantal vaak een Fibonaccigetal is.
Voorbeeld
De gulden hoek volgt rechtstreeks uit φ. Deel een volle draai door φ² en je krijgt 360° : 2,618 ≈ 137,5°. Je kunt het ook zo zien: de draai verdeelt de cirkel in twee bogen, van ongeveer 222,5° en 137,5°, volgens de gulden snede.
Een overzichtsartikel uit 2022 van onderzoekers van de Universiteit van Nottingham, The Golden Ratio in Nature (in het Engels), verzamelt voorbeelden op heel verschillende schalen en beschrijft de "neiging om in veel verschillende wetenschappelijke en artistieke vakgebieden op te duiken". Neiging is het juiste woord. Veel planten volgen andere patronen, dus het is geen natuurwet.
Is de schelp van de nautilus een gulden spiraal?
Meestal niet. De nautilus groeit in een logaritmische spiraal, die zijn vorm houdt terwijl hij groter wordt, en dat is op zichzelf al prachtig. Metingen aan echte schelpen geven meestal een groeiverhouding die afwijkt van φ. Een gulden spiraal over een foto van een nautilus is een mooi plaatje, geen meting.
Zit de gulden snede echt in kunst, gebouwen en gezichten?
Meestal niet. Beweringen dat het Parthenon, beroemde schilderijen of aantrekkelijke gezichten de gulden snede volgen, houden geen stand als mensen zorgvuldig meten. In een artikel uit 2022 in The Conversation (in het Engels) legt wiskundige Thomas Britz van de UNSW uit dat φ maar heel zelden voorkomt in de kunst en architectuur van het oude Griekenland.
Voorbeeld
De bekende bewering over het Parthenon is dat de voorgevel in een gulden rechthoek past. Britz schrijft dat zorgvuldige berekeningen laten zien dat dit niet klopt. Hetzelfde geldt voor "gulden-snede-gezichtstests" die beroemdheden een score geven. Het gezichtsmasker waarop ze gebaseerd zijn, is ontkracht, en er bestaat geen enkel getal dat bepaalt of een gezicht mooi is.
Een veelvoorkomende reden dat de mythe blijft bestaan, is dat mensen alleen de voorbeelden uitkiezen die toevallig passen. Bijna elk gebouw of gezicht heeft wel een paar lengtes waarvan de verhouding dicht bij 1,6 ligt, zeker als je zelf mag kiezen waar je meet. Verhoudingen als 3 : 2 = 1,5 of 16 : 9 ≈ 1,78 zijn ook prettig en komen veel vaker voor bij schermen en foto's. Een eerlijke test bekijkt veel voorwerpen en telt de missers net zo goed mee als de treffers.
Gebruiken kunstenaars en ontwerpers de gulden snede bewust?
Sommigen wel. Ontwerpers gebruiken 1,618 soms als uitgangspunt voor lay-outs, fotolijsten of lettergroottes, omdat het een verdeling geeft die niet te gelijk en niet te scheef is. Dat is een ontwerpkeuze, geen bewijs dat de verhouding in alles wat mooi is verstopt zit. Het werkt net zo als elke andere nette verhouding.
De gulden snede is echte wiskunde, geen schoonheidsregel
De gulden snede is een precies getal, (1 + √5) : 2 ≈ 1,618, met eigenschappen waar wiskundigen blij van worden. Kwadrateren telt er 1 bij op, 1 erdoor delen haalt er 1 af, en Fibonaccigetallen komen er steeds dichterbij. Het bepaalt de zaadspiralen van veel planten, terwijl de meeste verhalen over gezichten en beroemde gebouwen vooral wishful thinking met een meetlat zijn.
Een goede manier om het met een kind te ontdekken, is door het praktisch te houden. Deel Fibonaccigetallen op een rekenmachine, teken een gulden rechthoek met een passer of tel de spiralen op een dennenappel. Elke activiteit laat een echt patroon zien, en geen ervan heeft een mythe nodig om interessant te zijn.