Klinkt dat fout? Dan ben je in goed gezelschap. Duizenden mensen, sommigen zelfs gepromoveerd, wilden het eerst niet geloven. Hieronder lees je de puzzel en daarna een paar verschillende manieren om te zien waarom wisselen werkt. Eén daarvan laat het kwartje waarschijnlijk vallen.
Hoe werkt het Monty Hall-probleem?
Je zit in een spelshow en staat voor drie gesloten deuren. Achter één deur staat een auto, achter de andere twee een geit. Je kiest een deur. De presentator, die weet waar de auto staat, opent een van de andere twee deuren en laat je een geit zien. Dan vraagt hij of je bij je deur blijft of wisselt naar de laatste gesloten deur.
De meeste mensen halen hun schouders op en zeggen dat het niet uitmaakt. Er zijn nog twee deuren over, dus het moet fifty-fifty zijn. Dat is het niet. Wie wisselt, wint de auto 2 van de 3 keer.
De puzzel is genoemd naar Monty Hall, de presentator van de Amerikaanse spelshow Let's Make a Deal. Het beroemde antwoord hangt af van drie regels.
- De presentator opent altijd een deur die jij niet hebt gekozen.
- De presentator laat altijd een geit zien, nooit de auto.
- De presentator biedt je altijd de kans om te wisselen.
Waarom wint wisselen 2 van de 3 keer?
Je eerste keuze is 2 van de 3 keer fout. En elke keer dat die fout is, heeft de presentator geen keus. Hij moet de andere geitendeur openen, waardoor de auto achter de deur blijft waar je naartoe kunt wisselen. Wisselen wint dus elke keer dat je eerste gok fout was, en verliest alleen als je meteen de auto had gekozen.
Voorbeeld
Stel dat je altijd deur 1 kiest. De auto kan maar op drie plekken staan, en elke plek is even waarschijnlijk.
- De auto staat achter deur 1. De presentator opent deur 2 of deur 3. Blijven wint, wisselen verliest.
- De auto staat achter deur 2. De presentator moet deur 3 openen. Blijven verliest, wisselen wint.
- De auto staat achter deur 3. De presentator moet deur 2 openen. Blijven verliest, wisselen wint.
Tel ze maar op. Blijven wint één keer, wisselen wint twee keer. En het werkt precies zo, met welke deur je ook begint.
Je kunt het ook zo zien. Jouw deur begint met een kans van 1 op 3, en de andere twee deuren delen de resterende 2 op 3. Als de presentator er een van opent, verplaatst de auto zich niet. Hij laat je alleen zien welke van die twee deuren nu de hele 2 op 3 heeft.
Waarom is het geen fifty-fifty als er twee deuren over zijn?
Omdat de presentator niet zomaar een deur opent. Hij weet waar de auto staat en vermijdt die altijd, dus de deur die hij dicht laat, is met die kennis gekozen. Jouw eigen deur is blind gekozen en houdt zijn kans van 1 op 3. De andere gesloten deur krijgt de rest, 2 op 3.
Een artikel in Scientific American over de puzzel wijt de fout aan wat psychologen de gelijkwaarschijnlijkheidsbias noemen. We gaan er al snel van uit dat alle uitkomsten die we voor ons zien even waarschijnlijk zijn. Twee deuren lijken op kop of munt, dus we stoppen met nadenken.
De andere valkuil is dat de zet van de presentator je niets lijkt te vertellen. In werkelijkheid vertelt hij je heel veel. Elke keer dat er achter jouw deur een geit staat, moet de presentator de deur met de auto dicht laten. Die gedwongen keuze is de verborgen informatie.
Wordt het makkelijker met 100 deuren?
Voor veel mensen wel. Stel je 100 deuren voor en één auto. Je kiest er een, en de presentator, die weet waar de auto staat, opent 98 van de andere en laat 98 geiten zien. Eén deur blijft dicht. Jouw deur had een kans van 1 op 100. De deur die de presentator zorgvuldig heeft overgeslagen, heeft nu de andere 99 op 100.
Voorbeeld
Je kiest deur 37. De presentator opent alle deuren van 1 tot en met 100, behalve 37 en 82. Denk je echt dat jouw willekeurige eerste keuze de gelukkige was? Het is veel waarschijnlijker dat hij deur 82 oversloeg omdat de auto erachter staat.
Marilyn vos Savant, die de puzzel beroemd maakte, gebruikte een nog grotere versie met een miljoen deuren. Met drie deuren is het idee hetzelfde, alleen voel je het minder goed aan. Helpen 100 deuren je niet, denk dan eens aan het fout zitten. Je eerste keuze is 2 van de 3 keer fout, en wisselen maakt van elke foute keuze een winst.
Wat gebeurt er als de presentator niet weet waar de auto staat?
Dan helpt wisselen niet meer. Als de presentator willekeurig een deur opent en daar toevallig een geit achter staat, winnen blijven en wisselen allebei de helft van de keren. Het antwoord 2 op 3 geldt alleen als de presentator weet waar de auto staat, altijd een geitendeur opent en altijd laat wisselen.
Voorbeeld
Je kiest deur 1, en een presentator die van niets weet, opent willekeurig deur 2 of deur 3. Soms laat hij per ongeluk de auto zien, en die spelletjes zijn bedorven. In de spelletjes waarin een geit verschijnt, staat de auto precies de helft van de keren achter jouw deur.
De echte Monty Hall wees op hetzelfde addertje onder het gras. In een artikel in The New York Times uit 1991 waarschuwde hij dat een kandidaat moet oppassen als de presentator zelf mag kiezen of hij überhaupt een wissel aanbiedt. In een echte show kan het aanbod zelf een val zijn.
Hoe kun je het Monty Hall-probleem zelf testen?
Je hebt alleen drie speelkaarten en een vriend nodig. Een aas is de auto, twee andere kaarten zijn de geiten. Je vriend schudt ze met de beeldzijde naar beneden, jij wijst er een aan, en je vriend draait een geit om die jij niet hebt gekozen. Speel 30 rondes en wissel altijd. Je zou er ongeveer 20 moeten winnen.
Speel daarna nog 30 rondes en blijf altijd. Nu zou je er ongeveer 10 moeten winnen. Met zo weinig rondes schommelen de getallen wat, maar het verschil zie je snel.
Zelfs beroemde wiskundigen moesten het eerst zien. Scientific American vermeldt dat ook de zeer productieve wiskundige Paul Erdős zich door de puzzel liet beetnemen. Voelt het dus nog steeds fout, pak dan de kaarten erbij.
Wat de puzzel eigenlijk traint, is alle mogelijke gevallen eerlijk tellen. Het kansspel stelt elke ronde hetzelfde soort vraag. In het gevecht hieronder moet je bijvoorbeeld tellen op hoeveel manieren 4 munten precies 1 keer kop kunnen laten zien. Het antwoord is 4, want kop kan op elk van de vier munten liggen.
Waarom hebben zoveel mensen het Monty Hall-probleem fout?
Twee gesloten deuren zien er gewoon uit als een fifty-fifty keuze, en de verborgen kennis van de presentator mis je makkelijk. Spijt speelt waarschijnlijk ook mee. Verliezen nadat je bij de auto weg bent gewisseld, voelt erger dan verliezen omdat je bleef. Daarom houden veel mensen vast aan hun eerste deur, zelfs als ze de wiskunde begrijpen.
De puzzel verscheen voor het eerst in 1975, in brieven van de statisticus Steve Selvin. Hij werd beroemd in 1990, toen Marilyn vos Savant hem beantwoordde in haar rubriek Ask Marilyn in het tijdschrift Parade en lezers aanraadde te wisselen. Volgens Scientific American kreeg ze naar schatting 10.000 brieven waarin stond dat ze het mis had. The New York Times voegde eraan toe dat bijna 1.000 daarvan waren ondertekend door gepromoveerde mensen.
Ze had natuurlijk gelijk. De brieven horen nu bij het verhaal, en ze herinneren je er het best aan dat een zelfverzekerd onderbuikgevoel over kansen er compleet naast kan zitten.
Wissel, zolang de presentator het weet en altijd een geitendeur opent
Met de gewone regels verdubbelt wisselen je kans om te winnen, van 1 op 3 naar 2 op 3. Verander je de regels, dan kan het antwoord ook veranderen, bijvoorbeeld bij een presentator die deuren willekeurig opent of alleen laat wisselen als het hem uitkomt. Dat is de les die verder gaat dan spelshows. Voordat je op een kans vertrouwt, vraag je af hoe de informatie die voor je ligt is gekozen.
Train hierna verder