Waarom de formule y = ax + b zo handig is
Staat een formule in deze vorm, dan lees je de richtingscoëfficiënt en het beginpunt er zo vanaf en schets je de lijn in een paar seconden. Hieronder zie je hoe je de formule leest, hoe je hem opstelt uit twee punten of uit een andere vorm, en welke fouten de meeste leerlingen maken.
Hoe stel je de formule van een lijn op?
Om de formule y = ax + b op te stellen heb je twee dingen nodig, de richtingscoëfficiënt a en het startgetal b. De richtingscoëfficiënt bereken je uit twee punten met a = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Vul daarna één punt en de richtingscoëfficiënt in bij y = ax + b en bereken b. Schrijf het resultaat op met jouw getallen in plaats van a en b.
Voorbeeld
Stel de formule op van de lijn door de punten (1, 5) en (3, 9).
- Richtingscoëfficiënt: a = (9 − 5) : (3 − 1) = 4 : 2 = 2
- Vul het punt (1, 5) in: 5 = 2 · 1 + b, dus b = 3
- Formule: y = 2x + 3
- Controleer met het andere punt (3, 9): 2 · 3 + 3 = 9. Klopt.
Die laatste controle kost tien seconden en vangt de meeste fouten op, dus het loont om er een gewoonte van te maken.
En als de richtingscoëfficiënt een breuk is?
Breuken zijn hier heel normaal, en een breuk betekent niet dat je iets fout hebt gedaan. Neem de punten (4, 0) en (−2, 4). De richtingscoëfficiënt is (4 − 0) : (−2 − 4) = 4 : (−6) = −2/3. Dan geeft 0 = −2/3 · 4 + b dat b = 8/3, dus y = −2/3x + 8/3. Controleer met (−2, 4): 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.
Laat de richtingscoëfficiënt als breuk staan in plaats van hem af te ronden op een decimaal getal, want de breuk is exact en de controle komt precies uit. Als breuken je ophouden, maken een paar rondes van het breukenspel gelijkwaardige breuken en vereenvoudigen een stuk sneller.
In de ronde hierboven is 7/10 = 70/100, omdat teller en noemer allebei met 10 worden vermenigvuldigd.
Wat betekenen a en b in y = ax + b?
In y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en b het startgetal. De richtingscoëfficiënt vertelt hoeveel y verandert als x met 1 toeneemt, dus hoeveel de lijn stijgt per stap naar rechts. Het startgetal is de waarde van y als x = 0, het punt (0, b) waar de lijn de y-as snijdt.
Voorbeeld
In y = 3x − 2 is de richtingscoëfficiënt 3 en het startgetal −2. De lijn snijdt de y-as in (0, −2) en gaat bij elke stap van 1 naar rechts 3 omhoog. In y = −2x + 4 is de richtingscoëfficiënt −2, dus de lijn gaat bij elke stap naar rechts 2 omlaag, en hij snijdt de y-as in (0, 4).
Het lesboek OpenStax College Algebra 2e (in het Engels) beschrijft de helling als "rise over run", hoeveel je omhooggaat gedeeld door hoeveel je opzij gaat, en het snijpunt met de y-as als het punt waar de invoerwaarde nul is. Een positieve richtingscoëfficiënt geeft een lijn die van links naar rechts stijgt, een negatieve een dalende lijn, en hoe groter het getal (zonder op het teken te letten), hoe steiler de lijn.
Een voorbeeld uit het dagelijks leven
Een kaars is 20 cm hoog en brandt elk uur 2 cm op. De hoogte na t uur is h = −2t + 20. De 20 is waar je begint (b) en −2 is de verandering per uur (a). Na 3 uur is de kaars 14 cm hoog en na 10 uur is hij op. Veel leerlingen vinden het makkelijker om b te zien als de beginwaarde en a als de verandering per stap.
Hoe teken je de grafiek van y = ax + b?
Om y = ax + b te tekenen begin je bij het startgetal, het punt (0, b) op de y-as. Gebruik vanaf daar de richtingscoëfficiënt als omhoog gedeeld door opzij. Ga zoveel naar rechts als de stap opzij en zoveel omhoog als de stijging (of omlaag bij een negatieve richtingscoëfficiënt) om een tweede punt te vinden. Trek een rechte lijn door beide punten en verleng hem.
Voorbeeld
Teken de grafiek van y = 2x + 1.
- Zet het punt (0, 1) op de y-as.
- De richtingscoëfficiënt 2 betekent 2/1, dus ga 1 naar rechts en 2 omhoog. Je komt uit op (1, 3).
- Trek de lijn door (0, 1) en (1, 3).
Bij een richtingscoëfficiënt als −2/3 ga je 3 naar rechts en 2 omlaag. Als je de noemer als stap opzij gebruikt, kom je steeds op roosterpunten uit en kun je de lijn nauwkeuriger tekenen.
Hoe herschrijf je een vergelijking zoals 2x + 3y = 6 naar y = ax + b?
Staan x en y samen aan één kant van het isgelijkteken, dan maak je y vrij. Breng de term met x naar de andere kant en deel daarna elke term door het getal voor y. Het getal voor x is dan de richtingscoëfficiënt en het getal dat los staat is het startgetal.
Voorbeeld
Herschrijf 2x + 3y = 6.
- Trek aan beide kanten 2x af: 3y = −2x + 6
- Deel elke term door 3: y = −2/3x + 2
De richtingscoëfficiënt is −2/3 en het startgetal is 2. Een veelgemaakte fout is de richtingscoëfficiënt meteen als 2 aflezen uit 2x + 3y = 6. De getallen betekenen pas richtingscoëfficiënt en startgetal als y alleen aan één kant staat.
Punt en richtingscoëfficiënt of meteen y = ax + b?
De vorm y − y₁ = a(x − x₁) is handig als je een punt en de richtingscoëfficiënt kent, omdat je hem meteen kunt opschrijven. Voor het punt (1, 5) en richtingscoëfficiënt 2 krijg je y − 5 = 2(x − 1). Haakjes wegwerken en vereenvoudigen geeft y = 2x − 2 + 5, en je bent weer bij y = 2x + 3. Beide vormen beschrijven dezelfde lijn.
Welke lijnen kun je niet schrijven als y = ax + b?
Verticale lijnen kun je niet schrijven als y = ax + b. Alle punten op een verticale lijn hebben dezelfde x, dus de stap opzij is 0 en voor de richtingscoëfficiënt zou je door nul moeten delen. Daarom heeft een verticale lijn geen richtingscoëfficiënt. De verticale lijn door x = 3 schrijf je gewoon als x = 3.
Voorbeeld
De punten (3, 1) en (3, 6) liggen op een verticale lijn. De richtingscoëfficiënt zou (6 − 1) : (3 − 3) = 5 : 0 zijn, en dat heeft geen uitkomst. De lijn is dus x = 3. Een verticale lijn snijdt de y-as ook nooit, tenzij het de y-as zelf is, dus er is geen startgetal om voor b in te vullen.
Horizontale lijnen zijn geen probleem. De punten (−1, 4) en (5, 4) geven een richtingscoëfficiënt van 0 : 6 = 0, dus de lijn is y = 0x + 4, oftewel gewoon y = 4.
Wat zijn de meest gemaakte fouten met y = ax + b?
De meeste fouten met y = ax + b zijn kleine slordigheden, geen denkfouten. Leerlingen verwisselen de coördinaten van een punt, trekken boven en onder in de formule voor de richtingscoëfficiënt in een andere volgorde af, of lezen a en b af voordat y vrijgemaakt is. Als je de uiteindelijke formule controleert met een van de oorspronkelijke punten, vang je ze bijna allemaal op.
Snelle oplossingen per fout
Dit zijn de slordigheden die steeds terugkomen, met voor elk een snelle oplossing.
- x en y verwisselen in een punt. (5, 7) betekent x = 5 en y = 7. Denk "eerst opzij, dan omhoog" als je het leest.
- De volgorde van het aftrekken veranderen. Reken je boven 9 − 5, reken dan onder 3 − 1, met beide keren hetzelfde punt voorop.
- a en b verwisselen. In y = 4 + 3x is de richtingscoëfficiënt nog steeds 3, want a is het getal dat bij x hoort, waar het ook staat.
- Een minteken vergeten. In y = −x + 2 is de richtingscoëfficiënt −1, niet 1.
- Denken dat een breuk wel fout moet zijn. Een richtingscoëfficiënt als 3/4 of −2/3 is net zo goed als 2.
Oefenen met y = ax + b tot het vanzelf gaat
Lijnen snel leren lezen doe je door er veel te zien. In het spel over lineaire functies is elke aanval een vraag over een lijn, dus je oefent veel met richtingscoëfficiënten en startgetallen zonder dat het als huiswerk voelt.
Het startgetal b uitrekenen is ook maar een kleine vergelijking van één stap. Loop je daar vast, dan is het vergelijkingenspel een goede opwarmer.
De letters verschillen per land. In Nederland schrijf je y = ax + b, terwijl je in Engelstalige landen hetzelfde idee ziet als y = mx + b. In Zweden schrijven ze y = kx + m, in Rusland y = kx + b en in Italië y = mx + q. Welke letters je ook gebruikt, het getal voor x is altijd de richtingscoëfficiënt en het losse getal geeft aan waar de lijn de y-as snijdt.
Twee getallen beschrijven elke lijn die niet verticaal is
Elke lijn die niet verticaal is, kun je schrijven als y = ax + b, dus twee getallen zijn genoeg om hem helemaal te beschrijven. De richtingscoëfficiënt zegt hoe steil hij is en welke kant hij op gaat, en het startgetal zegt waar hij begint. Vind die twee getallen, controleer je formule met een punt, en de rest volgt vanzelf.
Train hierna verder