Hoe bereken je de inhoud van een cilinder?
Om de inhoud van een cilinder te berekenen, kwadrateer je de straal van het ronde grondvlak, vermenigvuldig je met π, dat is ongeveer 3,14, en vermenigvuldig je daarna met de hoogte. Dat is de formule V = πr²h. Schrijf het antwoord in kubieke eenheden, zoals cm³ of m³, want inhoud meet de ruimte binnen een ruimtefiguur en geen lengte of oppervlakte.
Voorbeeld
Bereken de inhoud van een cilinder met een straal van 3 cm en een hoogte van 10 cm.
- Kwadrateer de straal. 3 × 3 = 9
- Vermenigvuldig met π om de oppervlakte van het grondvlak te krijgen. 9 × π ≈ 28,27 cm²
- Vermenigvuldig met de hoogte. 9π × 10 = 90π
- Voeg de kubieke eenheid toe. De inhoud is ongeveer 282,74 cm³
Je kunt het antwoord ook als 90π cm³ laten staan. Deze exacte vorm voorkomt afronden en zie je vaak in hogere klassen.
De meest gemaakte fout is de straal met 2 vermenigvuldigen in plaats van te kwadrateren. Bij een straal van 3 cm is 3 × 2 = 6, maar 3² = 9. Een andere fout is ook de hoogte kwadrateren. Alleen de straal wordt gekwadrateerd, omdat alleen het grondvlak een cirkel is.
Waarom is de inhoud van een cilinder πr²h?
Een cilinder is een stapel gelijke cirkels, zoals een stapel munten. Elke cirkel heeft een oppervlakte van πr², en de stapel is h eenheden hoog. De inhoud is dus de oppervlakte van het grondvlak keer de hoogte. Prisma's volgen dezelfde regel, V = oppervlakte grondvlak × hoogte.
Voorbeeld
Stel je een stapel dunne ronde crackers voor, elk met een oppervlakte van 20 cm². Als de stapel 5 cm hoog is, vult hij 20 × 5 = 100 cm³ ruimte. Een cilinder met een grondvlak van 20 cm² en een hoogte van 5 cm heeft dezelfde inhoud.
Dit beeld laat ook zien wat er gebeurt als de cilinder van vorm verandert. Verdubbel je de hoogte, dan verdubbel je het aantal lagen, dus de inhoud verdubbelt. Verdubbel je de straal, dan wordt elke laag vier keer zo groot, omdat de straal wordt gekwadrateerd. De inhoud wordt dus vier keer zo groot.
Een cilinder past ook mooi naast twee andere ronde ruimtefiguren. Een kegel met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte bevat precies een derde van de cilinder. Een bol die precies in een cilinder past, bevat twee derde ervan. Volgens Britannica was Archimedes zo trots op deze uitkomst dat hij vroeg om die op zijn graf aan te brengen.
Hoe bereken je de inhoud van een cilinder met de diameter?
Om de inhoud te berekenen met de diameter, halveer je de diameter om de straal te krijgen en gebruik je daarna V = πr²h. De diameter is de afstand dwars over het ronde grondvlak door het middelpunt, dus twee keer de straal. In één stap is de formule V = πd²h : 4, en die geeft precies hetzelfde antwoord.
Voorbeeld
Een blik heeft een diameter van 8 cm en een hoogte van 12 cm. Halveer de diameter, dan krijg je een straal van 4 cm. Dan is 4² × π × 12 = 192π ≈ 603,19 cm³.
Met de formule in één stap is 8² = 64, en dan 64 × π × 12 : 4 = 192π ≈ 603,19 cm³. Beide manieren geven hetzelfde antwoord.
De diameter direct in πr²h invullen is een heel veelgemaakte fout. Bij het blik hierboven krijg je dan 64 × π × 12 ≈ 2.412,74 cm³, en dat is vier keer te groot. Lijkt een antwoord verrassend groot, controleer dan of je eerst de diameter hebt gehalveerd.
Hoe reken je de inhoud van een cilinder om naar liters?
Om de inhoud van een cilinder om te rekenen naar liters, bereken je de inhoud in kubieke centimeters en deel je door 1.000, want 1 liter is 1.000 cm³. Staat de inhoud in kubieke meters, vermenigvuldig dan juist met 1.000, want in 1 m³ past 1.000 liter. Zorg voordat je begint dat alle maten dezelfde eenheid hebben.
Voorbeeld
Een drinkglas heeft aan de binnenkant gemeten een diameter van 7 cm en een hoogte van 10 cm.
- Bereken de straal. 7 : 2 = 3,5 cm
- Bereken de inhoud. 3,5² × π × 10 ≈ 384,85 cm³
- Reken om naar liters. 384,85 : 1.000 ≈ 0,38 liter, of ongeveer 385 ml
Voor een groter voorbeeld neem je een watertank met een straal van 0,5 m en een hoogte van 1,2 m. De inhoud is 0,5² × π × 1,2 ≈ 0,94 m³. Vermenigvuldig met 1.000, dan past er ongeveer 942 liter in de tank.
Een veelvoorkomend probleem zijn gemengde eenheden, zoals een straal in centimeters en een hoogte in meters. Zet eerst alles om naar één eenheid. Omrekenen tussen cm³, m³, milliliters en liters gaat veel sneller na een paar rondes eenheden omrekenen.
Hoe bereken je de hoogte of de straal van een cilinder uit de inhoud?
Voor de hoogte deel je de inhoud door de oppervlakte van het grondvlak, dus h = V : (πr²). Voor de straal deel je de inhoud door π keer de hoogte en neem je daarna de wortel, dus r = √(V : (πh)). Beide formules zijn gewoon V = πr²h achterstevoren, stap voor stap.
Voorbeeld
Een cilindervormige kan moet 1 liter bevatten, dat is 1.000 cm³, en de straal is 5 cm. De hoogte moet dan 1.000 : (π × 5²) = 1.000 : 78,54 ≈ 12,73 cm zijn.
Nu andersom. Een cilinder met een hoogte van 10 cm bevat 500 cm³. De straal is √(500 : (π × 10)) = √15,92 ≈ 3,99 cm.
Om een van beide antwoorden te controleren, vul je de getallen weer in V = πr²h in. Voor de kan is π × 5² × 12,73 ≈ 1.000 cm³, dus de hoogte klopt.
De formule blijft het best hangen als je hem vaak gebruikt, met steeds andere getallen. In het meetkundespel is elke aanval in een gevecht een vraag over vormen, dus πr²h snel paraat hebben hoort bij het winnen van een ronde. In het spel telt π als 3, dus elk antwoord is een heel getal dat je uit je hoofd kunt uitrekenen. Korte, frequente rondes werken beter dan één lange sessie.
Hoe bereken je de inhoud van een holle cilinder?
Een holle cilinder, zoals een buis, is een grote cilinder waaruit in het midden een kleinere cilinder is weggehaald. Bereken de inhoud van de buitenste cilinder, trek de inhoud van het gat ervan af, en wat overblijft is het materiaal. Als formule is dat V = π(R² − r²)h, waarbij R de buitenstraal is en r de binnenstraal.
Voorbeeld
Een buis is 100 cm lang, met een buitenstraal van 5 cm en een binnenstraal van 4 cm.
- Kwadrateer beide stralen. 5² = 25 en 4² = 16
- Trek af. 25 − 16 = 9
- Vermenigvuldig met π en de lengte. 9 × π × 100 = 900π ≈ 2.827,43 cm³
Een veelgemaakte fout is de stralen aftrekken voordat je ze kwadrateert. Dat geeft (5 − 4)² × π × 100 = 100π ≈ 314,16 cm³, en dat is veel te klein. Kwadrateer eerst elke straal en trek daarna af.
Bereken eerst het grondvlak en vermenigvuldig dan met de hoogte
Elke vraag over de inhoud van een cilinder komt neer op dezelfde twee stappen. Bereken de oppervlakte van het ronde grondvlak en vermenigvuldig die met de hoogte. Gebruik dit lijstje om het juiste beginpunt te kiezen.
- Straal r en hoogte h gegeven: V = πr²h
- Diameter d gegeven: r = d : 2, of V = πd²h : 4
- Hoogte zoeken: h = V : (πr²)
- Straal zoeken: r = √(V : (πh))
- Holle cilinder: V = π(R² − r²)h
- Liters: cm³ : 1.000, of m³ × 1.000
Schrijf het antwoord in kubieke eenheden en reken pas aan het eind om naar liters, als de inhoud klopt.