Wat zijn gehele getallen? Een eenvoudige uitleg met voorbeelden

Gehele getallen op de getallenlijn

Op een getallenlijn zijn de gehele getallen de punten op gelijke afstand waar je uitkomt als je vanaf 0 vooruit of achteruit telt. Getallen als 1/2, 3,5 of √2 liggen in de ruimtes daartussen, dus dat zijn geen gehele getallen. Hier lees je hoe je het verschil ziet, waarom nul ook meetelt en hoe de rekenregels voor plus en min echt werken.

Hoe weet je of een getal een geheel getal is?

Een getal is een geheel getal als je het kunt schrijven zonder breuk en zonder cijfers achter de komma. Het kan positief, negatief of nul zijn. Het lesboek OpenStax Prealgebra 2e (in het Engels) zegt het eenvoudig, gehele getallen zijn de telgetallen, hun tegengestelden en nul. Dus 7, −7 en 0 zijn gehele getallen, maar 7,5 niet.

Voorbeeld

Probeer deze snelle checks.

• −12 is een geheel getal, want het is het tegengestelde van het telgetal 12.
• 0 is een geheel getal.
• 3,5 is geen geheel getal, want het heeft cijfers achter de komma.
• 1/2 is geen geheel getal.
• 8/2 is een geheel getal, want 8/2 = 4.
• √9 is een geheel getal, want √9 = 3.
• √2 is geen geheel getal, want het is ongeveer 1,41.

De laatste voorbeelden laten een handige gewoonte zien. Reken eerst de waarde uit en beslis daarna. Een getal kan eruitzien als een breuk of een wortel en toch een geheel getal blijken te zijn.

Is 0 een geheel getal?

Ja, 0 is een geheel getal. Het staat in het midden van de getallenlijn, tussen de negatieve en de positieve gehele getallen. Nul is niet positief en ook niet negatief, zoals OpenStax ook zegt. Nul is wel even, want 0 = 2 × 0, dus je kunt het zonder rest door 2 delen.

Zijn negatieve getallen gehele getallen?

Negatieve getallen zijn alleen gehele getallen als ze geen breuk of cijfers achter de komma hebben. −5 en −100 zijn gehele getallen. −2,5 en −3/4 zijn negatief, maar het zijn geen gehele getallen. Dezelfde test werkt voor elk getal, welk teken het ook heeft.

Wat is het verschil tussen gehele getallen en natuurlijke getallen?

De natuurlijke getallen zijn 0, 1, 2, 3 enzovoort, zonder negatieve getallen. De gehele getallen bevatten al die getallen en daarnaast de negatieve getallen −1, −2, −3 enzovoort. Dus −4 is een geheel getal, maar geen natuurlijk getal. De naam zegt het al, een geheel getal is ‘heel’, zonder stukjes achter de komma. Sommige boeken laten de natuurlijke getallen bij 1 beginnen, dus kijk welke afspraak de methode van je kind gebruikt.

Voorbeeld

Zo passen de belangrijkste groepen in elkaar.

• Telgetallen: 1, 2, 3, 4, …
• Natuurlijke getallen: 0, 1, 2, 3, 4, …
• Gehele getallen: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
• Rationale getallen: alle getallen die je kunt schrijven als een breuk van twee gehele getallen, zoals 1/2, −3/4 en 7 (dat is 7/1)

Wiskundigen schrijven de verzameling gehele getallen als ℤ. Die letter komt van het Duitse woord Zahlen, dat ‘getallen’ betekent. Je ziet ook ℕ voor de natuurlijke getallen. Zelfs daarover is men het niet helemaal eens, want sommige boeken beginnen bij 0 en andere bij 1.

Waar zie je gehele getallen in het dagelijks leven?

Gehele getallen duiken op zodra je vanaf een nulpunt omhoog en omlaag telt. Temperaturen onder nul, verdiepingen onder de grond, diepten onder zeeniveau en het doelsaldo van een voetbalclub zijn allemaal gehele getallen die negatief kunnen zijn. Telkens is 0 een vast punt om vanaf te tellen, niet ‘niets’.

Voorbeeld

’s Ochtends is het −4 °C en tegen lunchtijd is de temperatuur 7 graden gestegen. Begin bij −4 en tel 7 stappen omhoog op de getallenlijn, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. Tijdens de lunch is het 3 °C, dus −4 + 7 = 3.

In een lift is de begane grond meestal 0, de parkeergarage zit misschien op −2 en de vijfde verdieping is 5. Van −2 naar 5 gaan betekent 7 verdiepingen omhoog, want 5 − (−2) = 7.

Hoe tel je gehele getallen op en trek je ze af?

Stel je bij het optellen van gehele getallen een getallenlijn voor. Een positief getal optellen brengt je naar rechts, en een negatief getal optellen brengt je naar links. Aftrekken is het omgekeerde van optellen, dus een negatief getal aftrekken brengt je naar rechts. Daarom wordt de uitkomst groter als je een negatief getal aftrekt.

Voorbeeld

Reken −3 + 5 uit. Begin bij −3 en zet 5 stappen naar rechts. Je komt langs −2, −1, 0 en 1, en stopt bij 2. Dus −3 + 5 = 2.

Nog een paar om te proberen.

• −6 + 2 = −4, want 2 stappen naar rechts vanaf −6 brengt je bij −4.
• −2 − 5 = −7, want 5 stappen naar links vanaf −2 brengt je bij −7.
• 4 − (−3) = 7, want −3 aftrekken is hetzelfde als 3 optellen.

Waarom wordt de uitkomst groter als je een negatief getal aftrekt?

Aftrekken betekent ‘wat is het verschil?’. Het verschil tussen 4 en −3 op de getallenlijn is 7 stappen, dus 4 − (−3) = 7. OpenStax schrijft de algemene regel als a − (−b) = a + b. Veel kinderen lopen vast op −5 + 4, omdat ze een plusteken zien en een groter getal verwachten. Als je bij −5 begint en 4 stappen naar rechts gaat, zie je dat de uitkomst −1 is.

Waarom is min keer min plus?

Als je twee gehele getallen vermenigvuldigt, is de uitkomst positief als de tekens gelijk zijn en negatief als ze verschillen. Min keer min is plus door een patroon. Elke keer dat het eerste getal 1 kleiner wordt, verandert de uitkomst evenveel, en dat patroon gaat alleen door als de uitkomst positief wordt.

Voorbeeld

Kijk wat er gebeurt met 3 × (−2) als het eerste getal steeds 1 kleiner wordt.

• 3 × (−2) = −6
• 2 × (−2) = −4
• 1 × (−2) = −2
• 0 × (−2) = 0
• (−1) × (−2) = 2
• (−2) × (−2) = 4

Elke uitkomst is 2 meer dan de vorige. Om het patroon voorbij nul door te laten gaan, moet (−1) × (−2) gelijk zijn aan 2. Je kunt het ook zo zien, vermenigvuldigen met −1 draait je om op de getallenlijn. Draai je twee keer om, dan kijk je weer dezelfde kant op.

Gelden dezelfde tekenregels bij delen?

Ja. (−12) : 3 = −4 en (−12) : (−3) = 4, met dezelfde regel over gelijke en verschillende tekens. Er is wel één verschil. Optellen, aftrekken of vermenigvuldigen van twee gehele getallen geeft altijd een geheel getal, maar delen niet altijd. 8 : 2 = 4 is een geheel getal, terwijl 7 : 2 = 3,5 dat niet is.

Hoe word je sneller met gehele getallen?

Snelheid met gehele getallen komt door veel korte sommen te maken, tot je de getallenlijn in je hoofd hebt. In het spel met negatieve getallen is elke aanval een snelle som met negatieve getallen, dus oefenen kinderen de tekenregels terwijl ze druk bezig zijn het gevecht te winnen.

In de ronde hierboven is −17 aftrekken hetzelfde als 17 optellen, dus −1 − (−17) = −1 + 17 = 16.

De afstand van een getal tot nul heet de absolute waarde, dus de absolute waarde van −5 is 5. Dat is het volgende onderwerp dat de meeste leerlingen na gehele getallen tegenkomen, en het spel met absolute waarde maakt er een reeks snelle rondes van.

Gehele getallen zijn de getallen die je bereikt door vooruit of achteruit te tellen

Elk geheel getal is een stap die je bereikt door vanaf 0 te tellen, naar rechts voor positieve getallen en naar links voor negatieve. Nul staat in het midden en hoort er ook bij. Als een kind zich die getallenlijn kan voorstellen, zijn de regels voor optellen, aftrekken en vermenigvuldigen geen regels meer om uit je hoofd te leren, maar gaan ze echt kloppen.