Rekenen oefenen · opnieuw uitgevonden
Gauss-eliminatie spel
Hier komt de veegmethode van Gauss element voor element: het getal dat een rijoperatie achterlaat, een onbekende afgelezen van een trap of de rang van een hele matrix. Je tegenstander ziet dezelfde matrix, dus hoe netter je rekent, hoe eerder je vechter toeslaat.
Voor 4–99+ jaar · geen download · speelt in je browser · 23 talen
Wat is Gauss-eliminatie?
Gauss-eliminatie is een methode om een stelsel lineaire vergelijkingen op te lossen door de matrix, de tabel met coëfficiënten, rij voor rij op te ruimen. Je mag twee rijen verwisselen, een rij vermenigvuldigen of van een rij een veelvoud van een andere aftrekken. Stap voor stap verschijnen nullen onder een trap, en daarna lees je de oplossingen van onderaf.
Voorbeeld: R₂ − 5·R₁ op [ 1 2 4 8 ; 5 4 6 7 ; 5 4 5 8 ]
- De vraag is a₂₂, het nieuwe element in rij 2, kolom 2, na R₂ − 5·R₁.
- In die kolom staat in rij 2 een 4 en in rij 1 een 2.
- Trek vijf keer het element van rij 1 af: 4 − 5 × 2 = 4 − 10 = −6.
- Het nieuwe element is −6, dus je tikt het in met het minteken.
Stap voor stap leren
Gauss-eliminatie ruimt een matrix rij voor rij op. De zet die het meest wordt gebruikt is: neem een rij en trek er een aantal keer een andere rij van af. Geschreven als R₂ − 3·R₁ betekent het: nieuwe rij 2 = rij 2 min 3 keer rij 1.
Je doet het element voor element, kolom voor kolom. Om het nieuwe element in rij 2, kolom 3 te vinden, neem je het oude element van rij 2 in kolom 3 en trek je er 3 keer het element van rij 1 in kolom 3 van af. Zijn die 7 en 4, dan is het nieuwe element 7 − 3 × 4 = 7 − 12 = −5. De k wordt zo gekozen dat het eerste element van de rij 0 wordt — dat is het doel van de zet — maar je hebt alleen het ene element nodig waar de vraag om vraagt.
Zoek de twee elementen in de gevraagde kolom, vermenigvuldig het bovenste met k, trek af en typ het nieuwe element.
Tips en veelgemaakte fouten
- Lees a₃₂ als een stoel in de bioscoop: eerst de rij, dan de stoel. Rij 3, kolom 2, nooit andersom.
- Een veelgemaakte fout is beide rijen veranderen. R₂ − 5·R₁ herschrijft alleen rij 2; rij 1 blijft zoals hij was en leent alleen zijn getallen uit.
- Schrijf een klein stelsel op papier, zoals x + y = 5 en x − y = 1, en doe een wedstrijdje wie x het eerst wegwerkt.
Zo speel je
Elke ronde toont een matrix met een vraag ernaast: een rijoperatie en het element dat verandert, een onbekende uit een driehoeksstelsel of een rang. Tik het getal in vóór je tegenstander en Knoflook deelt de klap uit, harder naarmate je sneller was. Een fout antwoord verdooft je even.
— Snelle antwoorden —
Gauss-eliminatie: de korte FAQ
- Wat is terugsubstitutie?
- Terugsubstitutie lost een driehoeksstelsel op vanaf de laatste vergelijking naar boven. De onderste rij heeft maar één onbekende, dus die los je eerst op. Die waarde gaat naar de rij erboven, die dan nog één onbekende heeft, en zo verder tot bovenaan. Staat er in de laatste rij 2x₄ = 10, dan is x₄ = 5, en de rij daarboven gebruikt die 5.
- Hoe bepaal je de rang van een matrix?
- Om de rang van een matrix te bepalen, veeg je hem tot er een trap van pivots verschijnt en tel je de rijen die niet helemaal uit nullen bestaan. Een rij die nul wordt, was een mengsel van de andere en voegt niets nieuws toe. Een 3×3-matrix waarvan de derde rij de som van de eerste twee is, heeft rang 2.
- Waarom krijg ik het verkeerde teken bij het vegen?
- Verkeerde tekens bij het vegen komen bijna altijd van het aftrekken van een negatief element. Staat er −3 in rij 1 en is de operatie R₂ − 2·R₁, dan trek je 2 × (−3) = −6 af, dus tel je 6 op. Zet elk product met zijn teken tussen haakjes voordat je aftrekt, en de fout verdwijnt.
- Wanneer leer je de veegmethode van Gauss?
- In veel schoolsystemen komt de veegmethode van Gauss met een eerste universitair vak lineaire algebra, al behandelen sommige middelbare scholen hem al met 3×3-stelsels. Hier zijn de levels gericht op 18-jarigen. Wie vlot is met negatieve getallen en eenvoudige vergelijkingen, kan bij het eerste level beginnen.
- Is dit veegspel gratis en bruikbaar in de klas?
- Ja, het is gratis in elke browser op laptop, tablet of telefoon, zonder iets te installeren. Om het vegen te oefenen, krijgt elk team een 3×3-stelsel en roept het elk nieuw element om tijdens het wegwerken. Het eerste team met een nette trap legt zijn stappen uit aan de rest. Het schoolabonnement rekent per leerling en voegt een dashboard voor de docent toe dat laat zien wie sneller wordt.
Nog meer rekenen om te leren