Como calcular a área do círculo?
Para calcular a área de um círculo, eleve ao quadrado o raio, que é a distância do centro até a borda, e multiplique o resultado por π, que vale cerca de 3,14. Escreva a resposta em unidades quadradas, como cm² ou m², porque a área mede uma superfície e não um comprimento.
Exemplo
Calcule a área de um círculo com raio de 5 cm.
- Eleve o raio ao quadrado. 5 × 5 = 25
- Multiplique por π. 25 × π ≈ 78,54
- Acrescente as unidades quadradas. A área é de cerca de 78,54 cm²
Você também pode deixar a resposta como 25π cm². Essa forma exata é comum nos anos escolares mais avançados, porque evita arredondamentos.
Usar 3,14 ou a tecla π?
Os dois servem, desde que você siga o que o professor ou o enunciado pede. π é um número irracional, então suas casas decimais nunca terminam nem se repetem, como explica a Britannica. Com 3,14 você obtém 25 × 3,14 = 78,5 cm², enquanto a tecla π dá 78,54 cm². A pequena diferença vem apenas do arredondamento de π.
Erros comuns com a fórmula
O erro mais comum é multiplicar o raio por 2 em vez de elevá-lo ao quadrado. Com um raio de 5 cm, 5 × 2 = 10, mas 5² = 25. Outro deslize é multiplicar primeiro π pelo raio e depois elevar todo o resultado ao quadrado. A ordem das operações diz que a potência vem primeiro, então eleve o raio ao quadrado antes de multiplicar por π.
Como calcular a área do círculo a partir do diâmetro?
Para calcular a área a partir do diâmetro, divida o diâmetro por 2 para obter o raio e depois use A = πr². O diâmetro atravessa o círculo de um lado ao outro passando pelo centro, então mede o dobro do raio. Em um só passo, a fórmula é A = πd² ÷ 4, que dá exatamente o mesmo resultado.
Exemplo
Um círculo tem diâmetro de 10 cm. Divida por 2 e você obtém um raio de 5 cm. Então 5² × π = 25π ≈ 78,54 cm².
Com a fórmula de um só passo, 10² = 100, e depois 100 × π ÷ 4 = 25π ≈ 78,54 cm². Os dois caminhos dão o mesmo resultado.
Um erro muito comum é colocar o diâmetro direto em πr². Com 10 cm, isso dá 100π ≈ 314,16 cm², que é quatro vezes maior do que deveria. Se uma resposta parecer surpreendentemente grande, confira se você usou o diâmetro sem querer.
Como calcular a área do círculo a partir do comprimento da circunferência?
Para calcular a área a partir do comprimento da circunferência, primeiro encontre o raio dividindo o comprimento por 2π. Depois use A = πr². A circunferência é a linha que contorna o círculo, e seu comprimento é 2πr. Se preferir um só passo, a fórmula é A = C² ÷ (4π), em que C é o comprimento da circunferência.
Exemplo
Um canteiro redondo tem uma circunferência de 30 m de comprimento. Calcule sua área.
- Encontre o raio. 30 ÷ (2 × π) ≈ 4,77 m
- Encontre a área. Mantenha o raio completo na calculadora. π × 4,7746² ≈ 71,6 m²
- Confira com a fórmula de um só passo. 30² ÷ (4 × π) = 900 ÷ 12,566 ≈ 71,6 m²
Se você arredondar o raio para 4,77 antes, obtém π × 4,77² ≈ 71,5 m². Essa pequena diferença é o motivo de ser melhor arredondar só no final.
Por que a área do círculo é πr²?
Corte um círculo em muitas fatias iguais, como uma pizza, e coloque-as em fila, uma virada para cima e outra para baixo. As fatias formam uma figura que é quase um retângulo. A altura dela é o raio, r, e o comprimento é metade do comprimento da circunferência, πr. Então a área é πr × r, ou seja, πr².
Exemplo
Imagine um círculo com raio de 5 cm cortado em 16 fatias. Metade das fatias aponta para cima e a outra metade para baixo. A fila é tão comprida quanto meia circunferência, π × 5 ≈ 15,7 cm, e tão alta quanto o raio, 5 cm. Então a área é de cerca de 15,7 × 5 ≈ 78,5 cm², igual à da fórmula.
Com apenas 16 fatias, as bordas ainda ficam um pouco onduladas. Com 100 ou 1.000 fatias, a figura fica cada vez mais parecida com um retângulo perfeito. Essa é a ideia por trás da fórmula, e ela é muito mais fácil de lembrar do que a fórmula sozinha.
O matemático grego Arquimedes trabalhou nesse problema há mais de 2.000 anos. A Britannica conta como ele provou que a área de um círculo dividida pelo quadrado do seu raio é sempre o mesmo número, e como usou polígonos dentro e fora de um círculo para mostrar que π está entre 223/71 e 22/7.
Um jeito rápido de conferir a resposta
Um círculo cabe exatamente dentro de um quadrado cujos lados medem o mesmo que o diâmetro. Esse quadrado tem área de 2r × 2r = 4r². O círculo ocupa um pouco mais de três quartos dele, cerca de 78,5%, porque π ÷ 4 ≈ 0,785. Então, se um círculo com raio de 5 cm está dentro de um quadrado de 10 cm de lado e 100 cm², sua área deve ser um pouco menor que 80 cm². Ela é de 78,54 cm².
A fórmula fica melhor na memória quando você a usa com frequência, com números diferentes. No jogo de geometria, cada ataque de uma luta é uma pergunta sobre figuras, então lembrar πr² rapidinho passa a fazer parte de vencer uma rodada. No jogo, π vale 3, então toda resposta é um número inteiro que dá para calcular de cabeça. Rodadas curtas e frequentes funcionam melhor do que uma sessão longa.
Como encontrar o raio quando você sabe a área?
Para encontrar o raio a partir da área, percorra a fórmula de trás para frente. Divida a área por π e depois tire a raiz quadrada do resultado. Como fórmula, fica r = √(A ÷ π). Dobre o raio se precisar do diâmetro.
Exemplo
Um círculo tem área de 50 cm². Divida por π. 50 ÷ π ≈ 15,92. Depois tire a raiz quadrada. √15,92 ≈ 3,99, então o raio mede cerca de 3,99 cm e o diâmetro cerca de 7,98 cm.
Para conferir, coloque o raio de volta na fórmula. π × 3,99² ≈ 50,0 cm². Se você está enferrujado em raízes quadradas, algumas rodadas de raízes quadradas deixam esse passo bem mais rápido.
Uma pizza grande é maior que duas pequenas?
Muitas vezes, sim. Como o raio é elevado ao quadrado, dobrar o diâmetro de um círculo deixa a área quatro vezes maior. Uma pizza com 30 cm de diâmetro tem área de cerca de 707 cm². Duas pizzas com 20 cm de diâmetro somam cerca de 628 cm², então a pizza grande sozinha dá mais.
Exemplo
Na pizza de 30 cm, o raio é de 15 cm, então a área é π × 15² ≈ 706,9 cm². Em uma pizza de 20 cm, o raio é de 10 cm, então a área é π × 10² ≈ 314,2 cm². As duas juntas somam cerca de 628,3 cm², uns 79 cm² a menos que a pizza grande.
Esse tipo de comparação é um ótimo jeito de mostrar às crianças por que elevar ao quadrado faz diferença. Um círculo só um pouco mais largo cobre muito mais superfície.
Qual é a área de um semicírculo?
Um semicírculo é metade de um círculo, então sua área é metade de πr², ou seja, πr² ÷ 2. Para um semicírculo com raio de 5 cm, a área é 25π ÷ 2 ≈ 39,27 cm². Lembre-se de usar o raio, e não o comprimento do lado reto, que é o diâmetro.
Encontre o raio primeiro, e o resto vem fácil
Quase todo problema de área do círculo fica fácil quando você sabe o raio. Use esta lista para escolher o primeiro passo certo.
- Dado o raio r: A = πr²
- Dado o diâmetro d: r = d ÷ 2, ou A = πd² ÷ 4
- Dado o comprimento da circunferência C: r = C ÷ (2π), ou A = C² ÷ (4π)
- Dada a área, para encontrar o raio: r = √(A ÷ π)
- Semicírculo: A = πr² ÷ 2
Escreva as unidades ao quadrado no final e use a conferência do quadrado para ver se a resposta tem mais ou menos o tamanho certo.
Treine estes a seguir