Como calcular o comprimento da circunferência a partir do raio ou do diâmetro?
Para calcular o comprimento de uma circunferência, multiplique o diâmetro por π, que vale cerca de 3,14, ou seja, C = πd. O diâmetro é a distância de um lado ao outro passando pelo centro. Se você só sabe o raio, a distância do centro até a borda, dobre o raio primeiro ou use C = 2πr. Os dois caminhos dão o mesmo comprimento.
Exemplo
Calcule o comprimento de uma circunferência de raio 4 cm.
- Dobre o raio para obter o diâmetro. 2 × 4 = 8 cm
- Multiplique por π. 8 × π ≈ 25,13
- Coloque a unidade. O comprimento é de cerca de 25,13 cm
Você também pode deixar a resposta como 8π cm. Essa forma exata é comum nos anos finais da escola, porque evita arredondar.
Com o diâmetro, basta um passo. Uma mesa redonda com 1,2 m de diâmetro tem uma borda de 1,2 × π ≈ 3,77 m, então uma fita de acabamento para contorná-la precisa ter um pouco menos de 4 m.
Usar 3,14 ou a tecla π?
As duas opções servem, desde que você siga o que o enunciado pede. π é um número irracional, então suas casas decimais nunca terminam nem se repetem, e a Britannica observa que 3,14 ou 22/7 são as aproximações mais usadas no dia a dia. Com 3,14, o primeiro exemplo dá 8 × 3,14 = 25,12 cm. Com a tecla π da calculadora, dá 25,13 cm. A pequena diferença vem só do arredondamento de π.
O erro mais comum
O deslize que mais tira pontos nas provas é colocar o diâmetro em C = 2πr. Com um diâmetro de 10 cm, isso dá 2 × π × 10 ≈ 62,83 cm, o dobro do valor certo. A resposta correta é 10 × π ≈ 31,42 cm. Se você tem o diâmetro, use πd. Se tem o raio, use 2πr.
Por que o comprimento da circunferência é π vezes o diâmetro?
π é definido como o comprimento de uma circunferência dividido pelo seu diâmetro. Todas as circunferências, de uma moeda a um planeta, têm a mesma forma, então essa razão nunca muda. É por isso que C = πd funciona para qualquer circunferência. Role um círculo sobre uma reta por uma volta completa, e ele percorre um pouco mais de três diâmetros.
Exemplo
Imagine uma moeda com 2 cm de diâmetro. Marque um ponto na borda e role a moeda sobre uma régua por exatamente uma volta. A marca volta a tocar a régua em cerca de 6,28 cm, porque 2 × π ≈ 6,28. Três diâmetros dão 6 cm, e o pequeno pedaço extra são os 0,28 cm que transformam 3 em 3,14.
Você pode testar isso em casa com uma lata redonda, um pedaço de barbante e uma régua, ou com qualquer objeto redondo e uma fita métrica. Meça o comprimento da borda e o diâmetro, depois divida um pelo outro. O resultado sempre fica perto de 3,14, e os pequenos erros vêm da medição à mão.
A letra grega π foi usada pela primeira vez para essa razão por William Jones em 1706, segundo a Britannica. O mesmo verbete conta como Arquimedes encurralou π entre 223/71 e 22/7 desenhando polígonos dentro e fora de uma circunferência.
Como calcular o diâmetro ou o raio a partir do comprimento da circunferência?
Para achar o diâmetro a partir do comprimento da circunferência, divida o comprimento por π, ou seja, d = C ÷ π. Para achar o raio, divida por 2π, ou seja, r = C ÷ (2π). Isso funciona porque é a fórmula do comprimento usada ao contrário. Meça a volta, e a medida de um lado ao outro aparece.
Exemplo
Um tronco de árvore mede 150 cm de contorno. O diâmetro é 150 ÷ π ≈ 47,75 cm, e o raio é a metade disso, cerca de 23,87 cm.
Esse é um truque útil para tudo o que você não consegue medir de um lado ao outro, como uma árvore, uma coluna ou um cano. Uma fita métrica em volta e uma única divisão dão o diâmetro.
Como calcular o comprimento da circunferência a partir da área?
Para achar o comprimento da circunferência a partir da área do círculo, primeiro encontre o raio. Divida a área por π e tire a raiz quadrada, ou seja, r = √(A ÷ π). Depois use C = 2πr. Mantenha o raio completo na calculadora e arredonde só no final, para que os pequenos erros de arredondamento não se acumulem.
Exemplo
Um círculo tem área de 100 cm².
- Encontre o raio. 100 ÷ π ≈ 31,83, e √31,83 ≈ 5,64 cm
- Encontre o comprimento. 2 × π × 5,642 ≈ 35,45 cm
Também existe uma fórmula de um passo só, C = 2√(πA). Com 100 cm², ela dá 2 × √(π × 100) ≈ 35,45 cm, a mesma resposta. Se as raízes quadradas parecem lentas, algumas rodadas de raízes quadradas deixam esse passo muito mais rápido.
Quanto uma roda avança em uma volta?
Uma roda avança o comprimento da sua circunferência a cada volta completa, desde que role sem deslizar. Então a distância de uma volta é π vezes o diâmetro da roda. Uma roda de bicicleta com 70 cm de diâmetro avança cerca de 2,2 m por volta, e 1.000 voltas a levam a cerca de 2,2 km.
Exemplo
Para a roda de 70 cm, uma volta é 70 × π ≈ 219,9 cm, ou cerca de 2,2 m. Para percorrer 1 km, que são 100.000 cm, a roda dá 100.000 ÷ 219,9 ≈ 455 voltas.
É exatamente assim que muitos ciclocomputadores e contadores de passos estimam a distância. Eles contam voltas ou passos e multiplicam por um comprimento conhecido. Também é uma boa forma de mostrar às crianças que π não é só um número da escola.
A fórmula fica melhor na memória quando você a usa com frequência, com números diferentes. No jogo de geometria, cada ataque de uma luta é uma pergunta sobre figuras, então lembrar C = πd rapidamente passa a fazer parte de vencer uma rodada. No jogo π vale 3, então cada resposta é um número inteiro que você consegue calcular de cabeça. Rodadas curtas e frequentes funcionam melhor do que uma sessão longa.
Qual é o perímetro de um semicírculo?
O perímetro de um semicírculo é a metade do comprimento da circunferência mais o lado reto, ou seja, P = πr + 2r. Um erro comum é parar em πr e esquecer o diâmetro na base. Para um raio de 5 cm, a parte curva mede 5π ≈ 15,71 cm, e somando 10 cm você chega a cerca de 25,71 cm.
Qual é a relação entre o comprimento da circunferência e o ciclo trigonométrico?
O ciclo trigonométrico tem raio 1, então o comprimento da sua circunferência é exatamente 2π. É por isso que uma volta completa equivale a 2π radianos em trigonometria. O ciclo trigonométrico usa essa ideia para medir ângulos como distâncias ao longo da borda.
Saiba o raio ou o diâmetro, e o comprimento vem junto
Quase toda questão sobre comprimento da circunferência vira uma multiplicação quando você sabe o raio ou o diâmetro. Use esta lista para escolher o passo certo.
- Com o raio r: C = 2πr
- Com o diâmetro d: C = πd
- Com o comprimento, para achar o diâmetro: d = C ÷ π
- Com o comprimento, para achar o raio: r = C ÷ (2π)
- Com a área A: r = √(A ÷ π), depois C = 2πr
- Semicírculo: P = πr + 2r
A resposta é sempre um comprimento, então escreva em cm, m ou outra unidade de comprimento, nunca em unidades quadradas.
Treine estes a seguir