Como se monta a sequência de Fibonacci?
Para montar a sequência de Fibonacci, escreva 0 e 1, some os dois últimos números para obter o próximo e repita esse passo sem parar. Cada número novo depende só dos dois anteriores, então a lista pode continuar para sempre. Os números que você escreve desse jeito se chamam números de Fibonacci.
Exemplo
Monte a sequência passo a passo. Comece com 0 e 1.
- 0 + 1 = 1
- 1 + 1 = 2
- 1 + 2 = 3
- 2 + 3 = 5
- 3 + 5 = 8
- 5 + 8 = 13
- 8 + 13 = 21
Cada número novo só precisa dos dois últimos. Por isso é um bom desafio de cálculo mental para crianças, porque os números crescem rápido, mas a regra nunca muda. A regra é simples o bastante para uma criança pequena, e mesmo assim os mesmos números aparecem nos girassóis, nas pinhas e na proporção áurea.
A sequência começa com 0 ou com 1?
As duas versões são comuns. Muitos livros começam com 0, 1, 1, 2, 3, e outros com 1, 1, 2, 3. Os números que vêm depois são os mesmos nos dois casos. Os matemáticos costumam escrever a regra como Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂, com F₀ = 0 e F₁ = 1, o que significa "cada termo é a soma dos dois anteriores".
Padrões escondidos na sequência
A sequência tem pequenos padrões que as crianças adoram descobrir. Um em cada três números é par (0, 2, 8, 34, 144, 610), e todos os outros são ímpares. Um em cada cinco números é divisível por 5 (0, 5, 55, 610). Peça para uma criança conferir esses padrões mais adiante na lista. É um jeito divertido de praticar a adição e perceber estruturas ao mesmo tempo.
De onde vem a sequência de Fibonacci?
A sequência leva o nome de Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci, um matemático italiano. Ele a descreveu no livro Liber abaci, escrito em 1202, por meio de um problema sobre coelhos. Segundo a Britannica, é a primeira sequência numérica recursiva conhecida na Europa, ou seja, cada termo é construído a partir dos anteriores.
Exemplo
O problema dos coelhos funciona assim. Você começa com um casal de coelhos recém-nascidos. Um casal precisa de um mês para ficar adulto, e a partir daí cada casal adulto tem um casal novo por mês. Nenhum coelho vai embora. Conte os casais no início de cada mês.
- Mês 1: 1 casal (recém-nascido)
- Mês 2: 1 casal (agora adulto)
- Mês 3: 2 casais (os adultos e seus primeiros filhotes)
- Mês 4: 3 casais
- Mês 5: 5 casais
- Mês 6: 8 casais
O total de cada mês é o total do mês anterior mais o número de casais adultos, e os adultos são exatamente o total de dois meses antes. Essa é a regra de Fibonacci. É claro que coelhos de verdade não se comportam de forma tão organizada. O problema era uma maneira de descrever o padrão, não um estudo sobre animais.
Como encontrar o próximo número da sequência de Fibonacci?
Para encontrar o próximo número de Fibonacci, some os dois últimos números da lista. Depois de 21 e 34 vem 21 + 34 = 55, e depois de 34 e 55 vem 89. Para encontrar um número bem adiante na sequência, vá aumentando a lista ou use a fórmula de Binet, que calcula qualquer termo diretamente com a proporção áurea.
Exemplo
Encontre o 10º número de Fibonacci, contando F₀ = 0 como ponto de partida. Escrevendo a lista, você obtém 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, então F₁₀ = 55.
A fórmula de Binet dá a mesma resposta sem a lista. Eleve a proporção áurea φ (cerca de 1,618) à décima potência e divida por √5. Isso dá cerca de 122,99 ÷ 2,236 ≈ 55,004, e arredondando para o número inteiro mais próximo você obtém 55. Para os alunos mais velhos, é uma surpresa bonita, porque um número construído com raízes quadradas sempre cai muito perto de um número inteiro.
Descobrir a regra por trás de uma lista de números é uma habilidade que vai muito além de Fibonacci. O jogo de sequências numéricas transforma isso em uma luta, em que cada ataque é uma sequência e você precisa encontrar o número que falta. É um jeito rápido de praticar padrões como "some os dois últimos" sem escrever nada.
Qual é a relação entre a sequência de Fibonacci e a proporção áurea?
Se você dividir cada número de Fibonacci pelo anterior, os resultados ficam cada vez mais perto da proporção áurea, cerca de 1,618. Por exemplo, 8 ÷ 5 = 1,6, 13 ÷ 8 = 1,625 e 89 ÷ 55 ≈ 1,618. A proporção áurea em si é (1 + √5) ÷ 2, um número cujas casas decimais nunca terminam nem se repetem.
Exemplo
Veja como as razões se estabilizam à medida que os números crescem.
- 3 ÷ 2 = 1,5
- 5 ÷ 3 ≈ 1,667
- 8 ÷ 5 = 1,6
- 13 ÷ 8 = 1,625
- 21 ÷ 13 ≈ 1,615
- 34 ÷ 21 ≈ 1,619
- 55 ÷ 34 ≈ 1,618
Os resultados ficam ora acima, ora abaixo de 1,618, e chegam mais perto a cada vez. A Britannica observa que essa relação foi descrita pelo matemático Robert Simson em 1753.
O que é a espiral de Fibonacci?
Desenhe um quadrado de lado 1, depois outro quadrado de lado 1 ao lado dele, depois um de lado 2, depois 3, depois 5 e depois 8, cada um encostado no retângulo que você já tem. Ligue os cantos opostos de cada quadrado com um quarto de circunferência e você terá a espiral de Fibonacci. Ela é uma ótima aproximação da espiral áurea, que cresce de acordo com a proporção áurea a cada quarto de volta.
Onde a sequência de Fibonacci aparece na natureza?
Os números de Fibonacci aparecem com frequência nas plantas. As sementes de um girassol formam dois conjuntos de espirais, e o número de espirais em cada sentido costuma ser um par de números de Fibonacci vizinhos, como 34 e 55 ou 55 e 89. As pinhas mostram espirais parecidas, e muitas flores têm 3, 5, 8, 13 ou 21 pétalas.
Exemplo
Pegue uma pinha ou uma foto de um girassol e conte as espirais que giram no sentido horário. Depois conte as que giram no sentido contrário. As páginas sobre Fibonacci na natureza do Dr. Ron Knott, da Universidade de Surrey, mostram girassóis com 55 espirais em um sentido e 34 no outro, e outros maiores com 89 e 55.
As mesmas páginas listam flores pelo número de pétalas, como as esporas com 8, a tasneira e algumas margaridas com 13, e os ásteres com 21. Contar junto é uma atividade prática muito gostosa, e mostra às crianças que os números descrevem coisas reais ao redor delas.
Por que as plantas crescem em espirais de Fibonacci?
Muitas plantas colocam cada semente ou folha nova com quase o mesmo ângulo de giro em relação à anterior, cerca de 137,5°. Esse ângulo, ligado à proporção áurea, deixa as sementes bem juntinhas, sem espaços desperdiçados, e as espirais que você consegue contar são uma consequência desse giro constante. A segunda parte do guia de Ron Knott mostra por que esse ângulo funciona tão bem.
A sequência de Fibonacci está mesmo em toda a natureza?
Não. Os números de Fibonacci são comuns nas plantas, mas não são uma lei da natureza. As páginas de Ron Knott em Surrey lembram que você nem sempre vai encontrar números de Fibonacci nas pétalas ou nas cabeças de sementes, e algumas flores, como os brincos-de-princesa, têm 4 pétalas. Muitas afirmações na internet, principalmente sobre conchas, rostos e prédios famosos, exageram bastante o que as evidências mostram.
Exemplo
A concha do náutilo costuma aparecer com uma espiral áurea desenhada por cima. A concha realmente cresce em espiral logarítmica, uma curva que mantém a mesma forma conforme fica maior. Mas as páginas de Knott observam que o seu fator de crescimento varia e pode não ser a proporção áurea, e que chamá-la de espiral áurea é incorreto. Então o náutilo é uma espiral linda, mas não é prova de Fibonacci.
Essa também é uma lição útil para crianças mais velhas. Um padrão que aparece com frequência merece atenção, mas a pergunta honesta é sempre "com que frequência, e com que precisão?". Contar as espirais de uma pinha de verdade é um teste melhor do que qualquer imagem da internet.
Dois números iniciais e uma regra montam a sequência inteira
Cada número de Fibonacci vem do mesmo passo, somar os dois números anteriores. Aqui estão os 21 primeiros termos, começando em F₀ = 0, para você conferir a sua lista.
- 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
- 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987
- 1.597, 2.584, 4.181, 6.765
Se uma criança se perder, volte com ela aos dois últimos números de que ela tem certeza e some de novo. A regra nunca muda, então um erro é sempre fácil de corrigir.
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