Se isso parece errado para você, saiba que não está sozinho. Milhares de pessoas, algumas com doutorado, se recusaram a acreditar no começo. Abaixo está o enigma e, depois, alguns jeitos diferentes de entender por que trocar funciona. Provavelmente um deles vai fazer a ficha cair.
Como funciona o problema de Monty Hall?
Você está em um programa de auditório, diante de três portas fechadas. Atrás de uma tem um carro e atrás das outras duas, cabras. Você escolhe uma porta. O apresentador, que sabe onde está o carro, abre uma das outras duas e mostra uma cabra. Aí ele pergunta se você quer ficar com a sua porta ou trocar pela última que ainda está fechada.
A maioria dá de ombros e diz que tanto faz. Sobraram duas portas, então só pode ser meio a meio, 50% para cada uma. Não é. Quem troca ganha o carro 2 em cada 3 vezes.
O enigma leva o nome de Monty Hall, apresentador do programa de TV Let's Make a Deal. A famosa resposta depende de três regras.
- O apresentador sempre abre uma porta que você não escolheu.
- O apresentador sempre mostra uma cabra, nunca o carro.
- O apresentador sempre oferece a troca.
Por que trocar ganha 2 em cada 3 vezes?
Sua primeira escolha está errada 2 em cada 3 vezes. Toda vez que ela está errada, o apresentador não tem saída. Ele precisa abrir a outra porta com cabra, e o carro fica atrás da porta para a qual você pode trocar. Então trocar ganha sempre que seu primeiro palpite estava errado e só perde quando você acertou o carro logo de cara.
Exemplo
Digamos que você sempre escolha a porta 1. O carro só pode estar em três lugares, e todos têm a mesma chance.
- O carro está atrás da porta 1. O apresentador abre a porta 2 ou a porta 3. Ficar ganha, trocar perde.
- O carro está atrás da porta 2. O apresentador precisa abrir a porta 3. Ficar perde, trocar ganha.
- O carro está atrás da porta 3. O apresentador precisa abrir a porta 2. Ficar perde, trocar ganha.
Faça as contas. Ficar ganha uma vez, trocar ganha duas. E funciona do mesmo jeito qualquer que seja a porta escolhida no início.
Tem outro jeito de visualizar. Sua porta começa com uma chance de 1 em 3, e as outras duas dividem os 2 em 3 restantes. Quando o apresentador abre uma delas, o carro não muda de lugar. Ele só está mostrando qual dessas duas portas agora fica com os 2 em 3 inteiros.
Por que não é meio a meio quando sobram duas portas?
Porque o apresentador não abre uma porta ao acaso. Ele sabe onde está o carro e sempre evita essa porta, então a porta que ele deixa fechada foi escolhida com essa informação. A sua porta foi escolhida às cegas e mantém a chance de 1 em 3. A outra porta fechada fica com o resto, 2 em 3.
Um artigo da Scientific American sobre o enigma atribui o erro ao que os psicólogos chamam de viés da equiprobabilidade. A gente tende a achar que os resultados que estão na nossa frente têm a mesma chance. Duas portas parecem cara ou coroa, e a gente para de pensar.
A outra armadilha é que a jogada do apresentador parece não dizer nada. Na verdade, diz muita coisa. Sempre que a sua porta esconde uma cabra, o apresentador é obrigado a deixar fechada a porta do carro. Essa escolha forçada é a informação escondida.
A versão com 100 portas deixa tudo mais fácil?
Para muita gente, sim. Imagine 100 portas e um carro só. Você escolhe uma e o apresentador, que sabe onde está o carro, abre 98 das outras e mostra 98 cabras. Fica uma porta fechada. A sua porta tinha 1 chance em 100. A porta que o apresentador pulou com todo o cuidado agora tem as outras 99 em 100.
Exemplo
Você escolhe a porta 37. O apresentador abre todas as portas de 1 a 100, menos a 37 e a 82. Você acha mesmo que a sua escolha aleatória foi a sortuda? É muito mais provável que ele tenha pulado a 82 porque o carro está atrás dela.
Marilyn vos Savant, que deixou o enigma famoso, usou uma versão ainda maior, com um milhão de portas. Com três portas a ideia é a mesma, só é mais difícil de sentir. Se as 100 portas não ajudarem, tente pensar em errar. Sua primeira escolha está errada 2 em cada 3 vezes, e trocar transforma cada escolha errada em vitória.
O que acontece se o apresentador não souber onde está o carro?
Aí trocar deixa de ajudar. Se o apresentador abre uma porta ao acaso e acaba aparecendo uma cabra, ficar e trocar ganham metade das vezes cada um. A resposta de 2 em 3 só vale quando o apresentador sabe onde está o carro, sempre abre uma porta com cabra e sempre oferece a troca.
Exemplo
Você escolhe a porta 1, e um apresentador que não sabe de nada abre a porta 2 ou a 3 ao acaso. Às vezes ele mostra o carro sem querer, e essas partidas vão para o espaço. Nas partidas em que aparece uma cabra, o carro está atrás da sua porta exatamente metade das vezes.
O Monty Hall de verdade apontou esse mesmo porém. Em um artigo do New York Times de 1991, ele alertou que o participante deve desconfiar se o apresentador puder decidir se oferece ou não a troca. Em um programa de verdade, a própria oferta pode ser uma armadilha.
Como você mesmo pode testar o problema de Monty Hall?
Você só precisa de três cartas de baralho e de um amigo. Um ás é o carro e as outras duas cartas são as cabras. Seu amigo embaralha as cartas viradas para baixo, você aponta uma e ele vira uma cabra que você não escolheu. Jogue 30 rodadas trocando sempre. Você deve ganhar umas 20.
Depois jogue mais 30 rodadas sem trocar nunca. Desta vez você deve ganhar umas 10. Com tão poucas rodadas os números variam um pouco, mas a diferença aparece rápido.
Até matemáticos famosos precisaram ver para crer. A Scientific American conta que o prolífico matemático Paul Erdős também caiu no enigma. Então, se ainda parece errado, pegue as cartas.
O que o enigma treina de verdade é contar todos os casos possíveis sem deixar nenhum de fora. O jogo de probabilidade faz o mesmo tipo de pergunta em cada rodada. Na luta abaixo, por exemplo, você precisa contar de quantas maneiras 4 moedas podem dar exatamente 1 cara. A resposta é 4, porque a cara pode estar em qualquer uma das quatro moedas.
Por que tanta gente erra o problema de Monty Hall?
Duas portas fechadas simplesmente parecem uma escolha meio a meio, e é fácil não perceber o que o apresentador sabe. O arrependimento provavelmente também pesa. Perder depois de trocar e abrir mão do carro dói mais do que perder por ter ficado, então muita gente fica com a primeira porta mesmo entendendo a matemática.
O enigma apareceu pela primeira vez em 1975, em cartas do estatístico Steve Selvin. Ficou famoso em 1990, quando Marilyn vos Savant respondeu a ele na sua coluna Ask Marilyn, na revista Parade, e disse aos leitores que trocassem. Segundo a Scientific American, ela recebeu cerca de 10.000 cartas dizendo que estava errada. O New York Times acrescentou que quase 1.000 delas eram assinadas por pessoas com doutorado.
Claro que ela estava certa. Essas cartas hoje fazem parte da história e são o melhor lembrete de que um palpite cheio de certeza sobre o acaso pode estar totalmente errado.
Troque, desde que o apresentador saiba e sempre abra uma porta com cabra
Com as regras de sempre, trocar dobra a sua chance de ganhar, de 1 em 3 para 2 em 3. Mude as regras e a resposta pode mudar também, por exemplo com um apresentador que abre portas ao acaso ou que só oferece a troca quando lhe convém. Essa é a lição que vai além dos programas de auditório. Antes de confiar em uma probabilidade, pergunte como foi escolhida a informação que está na sua frente.
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