Equação fundamental da reta e quando usá-la no lugar de y = mx + n

Como escrever a equação fundamental da reta?

Coloque o coeficiente angular no lugar de m e as coordenadas de um ponto que você conhece no lugar de x₁ e y₁. Deixe x e y como letras. Eles representam todos os outros pontos da reta. Use a equação fundamental da reta, também chamada de forma ponto-inclinação, quando você conhece um ponto da reta e o coeficiente angular.

Exemplo

Escreva a reta que passa por (2, 3) e tem coeficiente angular 2.

1. O ponto dá x₁ = 2 e y₁ = 3.
2. O coeficiente angular dá m = 2.
3. Substitua: y − 3 = 2(x − 2).

Pronto, não há nada para simplificar. Se quiser ter certeza, teste um segundo ponto. A partir de (2, 3), um passo para a direita e dois para cima levam a (3, 5). Substitua esses números: à esquerda, 5 − 3 = 2, e à direita, 2(3 − 2) = 2. Os dois lados batem.

Repare que (2, 3) aparece dentro da própria equação. Na hora de fazer o gráfico, você pode colocar o lápis primeiro nesse ponto e seguir a partir dele.

Como achar a equação fundamental da reta a partir de dois pontos?

Calcule primeiro o coeficiente angular com m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). Depois pegue qualquer um dos dois pontos e coloque-o em y − y₁ = m(x − x₁) junto com esse coeficiente angular. Tanto faz qual ponto você escolhe. As equações parecem diferentes, mas depois de simplificadas as duas descrevem a mesma reta.

Exemplo

Ache a reta que passa por (1, −2) e (4, 7).

1. Coeficiente angular: m = (7 − (−2)) ÷ (4 − 1) = 9 ÷ 3 = 3
2. Usando (1, −2): y − (−2) = 3(x − 1), ou seja, y + 2 = 3(x − 1)
3. Usando (4, 7): y − 7 = 3(x − 4)

Desenvolvendo qualquer uma delas, você chega a y = 3x − 5. Vale a pena saber disso antes de corrigir a lição de casa pelo gabarito. Se o aluno usou (4, 7) e o gabarito usou (1, −2), vão aparecer duas equações diferentes, e nenhuma delas está errada.

Por que um ponto negativo muda os sinais?

A fórmula subtrai as coordenadas do ponto. Se uma coordenada é negativa, você acaba subtraindo um número negativo, e isso vira uma soma. Assim, o ponto (−4, −1) dá y + 1 e x + 4. Escrever os parênteses por completo antes de simplificar é o jeito mais simples de não trocar o sinal errado.

Exemplo

Escreva a reta que passa por (−4, −1) e tem coeficiente angular 1/2.

1. Com parênteses: y − (−1) = 1/2(x − (−4))
2. Simplificada: y + 1 = 1/2(x + 4)

Também funciona ao contrário. Se você tem y + 5 = −2(x − 6), o ponto da reta é (6, −5), e não (6, 5). Qualquer que seja o sinal que aparece dentro da equação, a coordenada tem o sinal oposto.

Como passar da equação fundamental para a equação reduzida da reta?

Aplique a distributiva no parêntese e passe o número do lado esquerdo para o outro lado, deixando o y sozinho. O resultado é a equação reduzida, y = mx + n. O coeficiente angular não muda na conversão, e o número que sobra sozinho no final é o coeficiente linear, o ponto onde a reta corta o eixo y.

Exemplo

Converta y − 3 = 2(x − 2).

1. Aplique a distributiva: y − 3 = 2x − 4
2. Some 3 aos dois lados: y = 2x − 1

O coeficiente angular continua sendo 2, e a reta corta o eixo y em (0, −1). Dá para ver esse ponto no gráfico acima. O caminho inverso é igualmente rápido. Pegue y = −3x + 5, escolha x = 1 e você obtém y = 2. O ponto (1, 2) e o coeficiente angular −3 dão y − 2 = −3(x − 1).

Qual forma usar?

Use a forma que combina com o que você já sabe.

• A equação fundamental da reta, quando você tem um ponto e o coeficiente angular, ou dois pontos.
• A equação reduzida, quando você quer ler o coeficiente angular e o coeficiente linear ou fazer o gráfico.
• A equação geral, Ax + By + C = 0, quando você precisa dos pontos onde a reta corta os dois eixos.

Muitos professores querem a resposta final na forma y = mx + n. Nada impede que você comece pela equação fundamental e converta no final.

De onde vem a equação fundamental da reta?

Ela é a fórmula do coeficiente angular, reorganizada. Escolha um ponto fixo (x₁, y₁) de uma reta e qualquer outro ponto (x, y) da mesma reta. O coeficiente angular entre eles é m = (y − y₁) ÷ (x − x₁). Multiplique os dois lados por (x − x₁) e você tem y − y₁ = m(x − x₁).

Exemplo

Continue com a reta que passa por (2, 3) com coeficiente angular 2 e teste o ponto (5, 9). O coeficiente angular de (2, 3) até (5, 9) é (9 − 3) ÷ (5 − 2) = 6 ÷ 3 = 2. É o mesmo, então (5, 9) está na reta. A equação fundamental diz exatamente isso: 9 − 3 = 2(5 − 2).

O livro didático gratuito OpenStax Elementary Algebra 2e deduz a fórmula do mesmo jeito. Depois, ele a usa para retas que passam por dois pontos e para retas paralelas e perpendiculares, que é justamente o assunto da próxima seção.

Como usar a equação fundamental da reta com retas paralelas e perpendiculares?

Uma reta paralela tem o mesmo coeficiente angular da reta original. Uma reta perpendicular tem o inverso com o sinal trocado, ou seja, você inverte a fração e troca o sinal. Um coeficiente angular 2 vira −1/2, e um coeficiente angular −3/4 vira 4/3. Com o novo coeficiente angular em mãos, coloque-o na equação fundamental junto com o ponto dado.

Exemplo

Ache a reta que passa por (2, 3) e é perpendicular a y = 2x − 1.

1. O coeficiente angular original é 2, ou 2/1.
2. Inverta e troque o sinal: −1/2.
3. Equação fundamental: y − 3 = −1/2(x − 2)
4. Equação reduzida: y = −1/2x + 4

Verificação rápida com x = 2: −1/2 × 2 + 4 = 3, que é o valor de y do nosso ponto. Para uma paralela que passa por (6, 0), mantenha o coeficiente angular 2: y − 0 = 2(x − 6), ou seja, y = 2x − 12.

Toda reta pode ser escrita na equação fundamental?

Quase toda. A exceção é a reta vertical. Todos os pontos dela têm o mesmo valor de x, então a variação horizontal é 0, e calcular o coeficiente angular significaria dividir por zero. Por isso, a reta vertical que passa por (3, 1) é escrita como x = 3. Retas horizontais não dão problema nenhum, porque o coeficiente angular delas é simplesmente 0.

Exemplo

Pegue a reta horizontal que passa por (1, 4). Na equação fundamental, ela fica y − 4 = 0(x − 1). Zero vezes qualquer número é zero, então a equação se reduz a y − 4 = 0, ou seja, y = 4.

Como praticar a equação fundamental da reta?

A agilidade com retas vem de ver muitas delas. No jogo de funções afins você luta respondendo perguntas sobre retas. Uma rodada pode pedir o coeficiente angular de (−2, 2) até (0, −6), e uma resposta certa faz seu ataque acertar o alvo. Essa dá (−6 − 2) ÷ (0 − (−2)) = −8 ÷ 2 = −4.

A conversão entre as formas é sempre uma pequena equação. Se é aí que você empaca, algumas rodadas do jogo de equações ajudam. Você vai usar os mesmos passos toda vez que isolar algo numa fórmula.

A letra do coeficiente angular também muda de um país para outro. No Brasil se usa m, como em inglês, mas em outros países você vai ver k ou a. Seja qual for a letra, o número na frente do parêntese é o coeficiente angular, e os números dentro do parêntese vêm de um ponto da reta.

Um ponto e uma inclinação definem a reta

Um único ponto e o coeficiente angular definem uma reta por completo, e a equação fundamental escreve isso diretamente. Substitua com cuidado, mantenha os parênteses até acertar os sinais e teste o resultado com um segundo ponto. Depois disso, chegar a y = mx + n leva só dois passos curtos.