Equação reduzida da reta (y = mx + n) explicada passo a passo

Por que a equação reduzida é tão útil

Quando a equação está nessa forma, dá para ler a inclinação e o ponto de partida direto nela e esboçar a reta em segundos. A seguir você vai ver como interpretá-la, como montá-la a partir de dois pontos ou de outra forma da equação e quais erros mais atrapalham os alunos.

Como encontrar a equação reduzida da reta?

Para encontrar a equação reduzida você precisa de duas coisas, o coeficiente angular m e o coeficiente linear n. Calcule o coeficiente angular a partir de dois pontos com m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). Depois substitua um ponto e o coeficiente angular em y = mx + n e isole n. Escreva o resultado com os seus números no lugar de m e n.

Exemplo

Encontre a reta que passa pelos pontos (1, 5) e (3, 9).

1. Coeficiente angular: m = (9 − 5) ÷ (3 − 1) = 4 ÷ 2 = 2
2. Use o ponto (1, 5): 5 = 2 · 1 + n, então n = 3
3. Equação: y = 2x + 3
4. Confira com o outro ponto (3, 9): 2 · 3 + 3 = 9. Deu certo.

Essa conferência final leva dez segundos e pega a maioria dos erros, então vale a pena transformá-la em hábito.

E se o coeficiente angular for uma fração?

Frações são totalmente normais aqui, e aparecer uma fração não quer dizer que você errou. Pegue os pontos (4, 0) e (−2, 4). O coeficiente angular é (4 − 0) ÷ (−2 − 4) = 4 ÷ (−6) = −2/3. Então 0 = −2/3 · 4 + n dá n = 8/3, e a reta é y = −2/3x + 8/3. Confira com (−2, 4): 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.

Deixe o coeficiente angular como fração em vez de arredondar para um decimal, porque a fração é exata e a conferência fecha certinho. Se são as frações que te deixam mais lento, algumas rodadas do jogo de frações deixam frações equivalentes e simplificação muito mais rápidas.

Na rodada acima, 7/10 = 70/100, porque o numerador e o denominador foram multiplicados por 10.

O que significam m e n em y = mx + n?

Em y = mx + n, m é o coeficiente angular e n é o coeficiente linear. O coeficiente angular diz quanto y muda quando x aumenta 1, ou seja, quanto a reta sobe a cada passo para a direita. O coeficiente linear é o valor de y quando x = 0, que corresponde ao ponto (0, n) onde a reta corta o eixo y.

Exemplo

Em y = 3x − 2, o coeficiente angular é 3 e o coeficiente linear é −2. A reta corta o eixo y em (0, −2), e cada passo de 1 para a direita faz ela subir 3. Em y = −2x + 4, o coeficiente angular é −2, então a reta desce 2 a cada passo para a direita e corta o eixo y em (0, 4).

O livro OpenStax College Algebra 2e (em inglês) descreve a inclinação como "rise over run", quanto se sobe dividido por quanto se anda na horizontal, e o ponto de corte com o eixo y como o ponto em que o valor de entrada é zero. Com coeficiente angular positivo a reta sobe da esquerda para a direita, com negativo ela desce, e quanto maior o número (sem olhar o sinal), mais inclinada é a reta.

Um jeito do dia a dia de enxergar m e n

Uma vela tem 20 cm de altura e diminui 2 cm por hora. A altura depois de t horas é h = −2t + 20. O 20 é de onde ela parte (n), e o −2 é quanto ela muda a cada hora (m). Depois de 3 horas ela tem 14 cm, e depois de 10 horas acabou. Muitos alunos acham mais fácil pensar em n como o valor inicial e em m como a variação a cada passo.

Como fazer o gráfico de uma reta na forma reduzida?

Para fazer o gráfico de y = mx + n, comece pelo ponto (0, n) no eixo y. A partir dele, use o coeficiente angular como quanto sobe dividido por quanto anda na horizontal. Ande para a direita o deslocamento horizontal e suba o deslocamento vertical (ou desça, se o coeficiente for negativo) para achar um segundo ponto. Trace uma reta pelos dois pontos e prolongue.

Exemplo

Faça o gráfico de y = 2x + 1.

1. Marque o ponto (0, 1) no eixo y.
2. O coeficiente angular 2 significa 2/1, então ande 1 para a direita e suba 2. Você chega em (1, 3).
3. Trace a reta que passa por (0, 1) e (1, 3).

Com um coeficiente como −2/3, ande 3 para a direita e desça 2. Usar o denominador como deslocamento horizontal mantém você nos pontos da malha, e fica mais fácil traçar a reta com precisão.

Como passar da equação geral para a equação reduzida?

Para passar uma equação como 2x + 3y = 6 (ou 2x + 3y − 6 = 0, na forma geral) para a forma reduzida, isole o y. Passe o termo com x para o outro lado e depois divida cada termo pelo número que acompanha o y. O número que acompanha o x passa a ser o coeficiente angular, e o número sozinho é o coeficiente linear.

Exemplo

Transforme 2x + 3y = 6.

1. Subtraia 2x dos dois lados: 3y = −2x + 6
2. Divida cada termo por 3: y = −2/3x + 2

O coeficiente angular é −2/3 e o coeficiente linear é 2. Um deslize comum é ler o coeficiente angular como 2 direto de 2x + 3y = 6. Os números só indicam coeficiente angular e linear quando o y está sozinho de um lado.

Equação fundamental ou equação reduzida?

A equação fundamental da reta, y − y₁ = m(x − x₁), é prática quando você conhece um ponto e o coeficiente angular, porque dá para escrevê-la na hora. Para o ponto (1, 5) e coeficiente angular 2, você obtém y − 5 = 2(x − 1). Aplique a distributiva e simplifique, y = 2x − 2 + 5, e você volta a y = 2x + 3. As duas formas descrevem a mesma reta.

Quais retas não podem ser escritas na forma reduzida?

Retas verticais não podem ser escritas na forma reduzida. Todos os pontos de uma reta vertical têm o mesmo x, então o deslocamento horizontal é 0 e calcular o coeficiente angular seria dividir por zero. Por isso o coeficiente angular de uma reta vertical não existe. A reta vertical que passa por x = 3 é escrita simplesmente como x = 3.

Exemplo

Os pontos (3, 1) e (3, 6) estão numa reta vertical. O coeficiente angular seria (6 − 1) ÷ (3 − 3) = 5 ÷ 0, que não tem resultado. Então a reta é x = 3. Uma reta vertical também nunca corta o eixo y, a não ser que seja o próprio eixo y, então não há coeficiente linear para colocar no lugar de n.

Retas horizontais não dão problema. Os pontos (−1, 4) e (5, 4) dão coeficiente angular 0 ÷ 6 = 0, então a reta é y = 0x + 4, ou seja, y = 4.

Quais são os erros mais comuns com a equação reduzida?

A maioria dos erros com a equação reduzida são pequenos deslizes, não falta de entendimento. Os alunos trocam as coordenadas de um ponto, subtraem em ordens diferentes em cima e embaixo na fórmula do coeficiente angular ou leem m e n antes de isolar o y. Conferir a equação final com um dos pontos dados pega quase todos.

Soluções rápidas para cada deslize

Estes são os deslizes que aparecem o tempo todo, com uma solução rápida para cada um.

• Confundir x e y num ponto. (5, 7) quer dizer x = 5 e y = 7. Pense "primeiro na horizontal, depois na vertical" ao ler.
• Mudar a ordem da subtração. Se em cima você faz 9 − 5, embaixo faça 3 − 1, com o mesmo ponto na frente nas duas vezes.
• Trocar m e n. Em y = 4 + 3x o coeficiente angular continua sendo 3, porque m é o número que acompanha o x, esteja onde estiver.
• Esquecer um sinal de menos. Em y = −x + 2 o coeficiente angular é −1, não 1.
• Achar que uma fração só pode estar errada. Coeficientes como 3/4 ou −2/3 valem tanto quanto 2.

Praticar a equação reduzida até ficar automático

Ler retas rapidamente vem de ver muitas delas. No jogo de função afim, cada ataque é uma pergunta sobre uma reta, então você treina bastante a identificar coeficientes angulares e lineares sem sentir que está fazendo lição de casa.

Isolar n também é só uma pequena equação de um passo. Se é nesse passo que você trava, o jogo de equações é um bom aquecimento.

As letras mudam de país para país. No Brasil a equação reduzida da reta costuma ser escrita y = mx + n, e a função afim como f(x) = ax + b, enquanto nos países de língua inglesa a mesma ideia aparece como y = mx + b. Em Portugal se escreve y = mx + b, na Rússia y = kx + b e na Itália y = mx + q. Sejam quais forem as letras, o número que acompanha o x é sempre o coeficiente angular, e o número sozinho mostra onde a reta corta o eixo y.

Dois números descrevem qualquer reta que não seja vertical

Qualquer reta que não seja vertical pode ser escrita como y = mx + n, então dois números bastam para descrevê-la por completo. O coeficiente angular diz o quanto ela é inclinada e para que lado, e o coeficiente linear diz onde ela começa. Encontre esses dois números, confira a equação com um ponto e o resto vem naturalmente.