Como calcular o desvio padrão passo a passo?
Para calcular o desvio padrão, encontre a média, subtraia-a de cada valor, eleve cada diferença ao quadrado e some os quadrados. Divida esse total pelo número de valores, o que dá a variância. Por fim, tire a raiz quadrada da variância. O resultado é o desvio padrão, de volta nas unidades originais dos dados.
Exemplo
Duas equipes de 8 jogadores respondem ao mesmo quiz de 10 perguntas. Pegue a equipe B, cujas pontuações são 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 e 9.
- Encontre a média. 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40, e 40 ÷ 8 = 5
- Subtraia a média de cada valor. Isso dá −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
- Eleve cada diferença ao quadrado. Isso dá 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16
- Some os quadrados. 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
- Divida pelo número de valores. 32 ÷ 8 = 4, que é a variância
- Tire a raiz quadrada. √4 = 2, então o desvio padrão é 2
A mesma conta, valor por valor, ajuda a não se perder.
- 2 − 5 = −3, e (−3)² = 9
- 4 − 5 = −1, e (−1)² = 1, três vezes
- 5 − 5 = 0, e 0² = 0, duas vezes
- 7 − 5 = 2, e 2² = 4
- 9 − 5 = 4, e 4² = 16
Repare que as próprias diferenças, −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 e 4, somam 0. Isso sempre acontece, e explica por que elevamos ao quadrado, como mostra a próxima seção. O último passo precisa de uma raiz quadrada, e algumas rodadas de raízes quadradas deixam muito mais rápido estimá-las de cabeça.
Qual é a fórmula do desvio padrão?
O desvio padrão populacional é σ = √(Σ(x − μ)² ÷ N). Aqui x é cada valor, μ é a média, N é o número de valores e Σ significa "some todos". Para uma amostra tirada de um grupo maior, divida por n − 1 em vez de N. Essa versão é escrita s.
Exemplo
Se a equipe B é todo o grupo que interessa a você, use N. A variância é 32 ÷ 8 = 4, e σ = √4 = 2.
Se os 8 jogadores são uma amostra escolhida para representar uma escola inteira, use n − 1. A variância é 32 ÷ 7 ≈ 4,57, e s = √4,57 ≈ 2,14.
Por que dividir por n − 1 em uma amostra?
Uma amostra costuma deixar de fora alguns dos valores mais extremos do grupo completo, então sua dispersão tende a sair um pouco pequena demais. Dividir por n − 1, um número um pouco menor, deixa o resultado um pouco maior e corrige isso. Com amostras grandes, a diferença entre as duas versões fica mínima.
Calculadoras e planilhas costumam oferecer as duas versões. Um botão ou uma função marcados com σ ou "população" dividem por N, e um marcado com s ou "amostra" divide por n − 1. Confira qual o professor ou o livro didático espera, porque as duas estão corretas em sua própria situação.
Por que elevar as diferenças ao quadrado no desvio padrão?
As diferenças em relação à média sempre somam zero, porque os valores acima da média equilibram os valores abaixo dela. Elevar ao quadrado deixa todas as diferenças positivas, então elas não se anulam mais. A raiz quadrada no final traz o resultado de volta às unidades originais, de modo que uma dispersão em pontos é medida em pontos.
Exemplo
Na equipe B, as diferenças eram −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 e 4. O total delas é 0, então a média simples também é 0, o que não diz nada sobre a dispersão. Depois de elevadas ao quadrado, viram 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 e 16, que somam 32.
Elevar ao quadrado também dá mais peso aos valores distantes. O NIST Engineering Statistics Handbook mostra isso com clareza. Um ponto a 2 unidades da média acrescenta 4 ao total, enquanto um ponto a 10 unidades acrescenta 100. Isso deixa o desvio padrão sensível a um único valor extremo, como uma nota 0 em um grupo que, fora isso, foi bem.
Existe uma medida mais simples que pula o quadrado. O desvio médio absoluto pega a distância de cada valor até a média, ignora os sinais de menos e calcula a média dessas distâncias. Na equipe B, as distâncias 3, 1, 1, 1, 0, 0, 2 e 4 somam 12, e 12 ÷ 8 = 1,5. Ele é mais fácil de calcular à mão, mas o desvio padrão é a medida em que se baseia a maioria das ferramentas e fórmulas estatísticas.
O que é um desvio padrão alto ou baixo?
Não existe um número único que conte como desvio padrão alto ou baixo. Depende do tamanho dos valores e do que eles medem. Um desvio padrão de 2 pontos é grande para notas de 0 a 10, mas minúsculo para pontuações de 0 a 1.000. Compare-o com a média e com a faixa de valores possíveis.
Exemplo
Agora compare a equipe B com a equipe A do mesmo quiz.
- Equipe A: 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7
- Equipe B: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
As duas equipes têm média 5, porque cada lista soma 40 e 40 ÷ 8 = 5. Mas as pontuações da equipe A se concentram em torno de 5, enquanto as da equipe B estão espalhadas de 2 a 9. O desvio padrão da equipe A é 1 ponto, e o da equipe B é 2 pontos.
Só pela média, essas equipes pareceriam idênticas. O desvio padrão mostra que a equipe A é muito regular, enquanto a equipe B tem alguns jogadores bem à frente e outros bem atrás.
Outro exemplo
Duas padarias vendem pães com peso médio de 500 g. Na primeira, o desvio padrão é 5 g, então quase todos os pães pesam perto de 500 g. Na segunda, é 40 g, então alguns pães são visivelmente mais leves e outros mais pesados. As médias são iguais, mas a primeira padaria é muito mais regular.
Um desvio padrão baixo nem sempre é melhor. Em uma sala de aula, um desvio padrão alto nos resultados de uma prova pode mostrar simplesmente que as crianças estão em etapas muito diferentes, o que é útil para o professor saber. Em uma fábrica, um desvio padrão baixo geralmente significa que as máquinas são confiáveis. O número descreve a dispersão, e o contexto decide se essa dispersão é uma boa notícia.
Um desvio padrão nunca pode ser negativo, porque vem da raiz quadrada de números elevados ao quadrado. Ele só é 0 quando todos os valores são iguais.
O que significa a regra 68-95-99,7?
Em dados que seguem uma distribuição normal, a conhecida curva em forma de sino, cerca de 68% dos valores ficam a até um desvio padrão da média. Cerca de 95% ficam a até dois desvios padrão, e cerca de 99,7% a até três. Isso se chama regra empírica, e transforma um desvio padrão em uma imagem rápida dos dados.
Exemplo
Suponha que os tempos de uma corrida de 1 km em um grupo grande sigam uma curva de Gauss com média de 6 minutos e desvio padrão de 1 minuto. Então cerca de 68% dos corredores terminam entre 5 e 7 minutos. Cerca de 95% terminam entre 4 e 8 minutos, e quase todos terminam entre 3 e 9 minutos.
A regra só funciona bem com dados em forma de sino. Grupos pequenos, como as duas equipes do quiz, raramente a seguem de perto. Em dados assimétricos, como renda ou tempos de espera, a média e o desvio padrão podem dar uma imagem enganosa, e a mediana e a amplitude muitas vezes descrevem melhor os dados.
A média é o ponto de partida de todo desvio padrão, então ajuda calcular médias rapidamente. No jogo de estatística, cada ataque em uma luta é uma pergunta de estatística, então encontrar uma média de cabeça passa a fazer parte de vencer uma rodada. Rodadas curtas e frequentes desenvolvem essa rapidez melhor do que uma sessão longa.
O desvio padrão é a distância típica até a média
O desvio padrão responde a uma pergunta. A que distância da média está um valor típico? Use estes passos sempre que precisar calculá-lo à mão.
- Encontre a média.
- Subtraia a média de cada valor.
- Eleve cada diferença ao quadrado.
- Some os quadrados.
- Divida por N para uma população inteira, ou por n − 1 para uma amostra.
- Tire a raiz quadrada.
Um resultado pequeno significa que os valores estão próximos, e um resultado grande significa que estão espalhados. Leia-o sempre junto com a média e as unidades, porque uma dispersão só faz sentido no seu contexto.
Treine estes a seguir