Como calcular o volume de um cilindro?
Para calcular o volume de um cilindro, eleve o raio da base circular ao quadrado, multiplique por π, que vale cerca de 3,14, e depois multiplique pela altura. Essa é a fórmula V = πr²h. Escreva a resposta em unidades cúbicas, como cm³ ou m³, porque o volume mede o espaço dentro de um sólido, e não um comprimento ou uma superfície.
Exemplo
Calcule o volume de um cilindro com raio de 3 cm e altura de 10 cm.
- Eleve o raio ao quadrado. 3 × 3 = 9
- Multiplique por π para obter a área da base. 9 × π ≈ 28,27 cm²
- Multiplique pela altura. 9π × 10 = 90π
- Coloque as unidades cúbicas. O volume é de cerca de 282,74 cm³
Você também pode deixar a resposta como 90π cm³. Essa forma exata evita arredondamentos e é comum nos anos finais da escola.
O deslize mais comum é multiplicar o raio por 2 em vez de elevá-lo ao quadrado. Com um raio de 3 cm, 3 × 2 = 6, mas 3² = 9. Outro é elevar a altura ao quadrado também. Só o raio fica ao quadrado, porque só a base é um círculo.
Por que o volume de um cilindro é πr²h?
Um cilindro é uma pilha de círculos iguais, como uma pilha de moedas. Cada círculo tem área πr², e a pilha tem h unidades de altura. Então o volume é a área da base multiplicada pela altura. Os prismas seguem a mesma regra, V = área da base × altura.
Exemplo
Imagine uma pilha de biscoitos redondos e finos, cada um com área de 20 cm². Se a pilha tem 5 cm de altura, ela ocupa 20 × 5 = 100 cm³ de espaço. Um cilindro com área da base de 20 cm² e altura de 5 cm tem o mesmo volume.
Essa imagem também explica o que acontece quando o cilindro muda de forma. Dobre a altura e você dobra o número de camadas, então o volume dobra. Dobre o raio e cada camada fica quatro vezes maior, porque o raio é elevado ao quadrado. Então o volume fica quatro vezes maior.
O cilindro também combina muito bem com outros dois sólidos redondos. Um cone com a mesma base e a mesma altura comporta exatamente um terço do cilindro. Uma esfera que se encaixa justinha dentro de um cilindro ocupa dois terços dele, um resultado do qual, segundo a Britannica, Arquimedes tinha tanto orgulho que pediu que fosse gravado em seu túmulo.
Como calcular o volume de um cilindro a partir do diâmetro?
Para calcular o volume a partir do diâmetro, divida o diâmetro por 2 para obter o raio e depois use V = πr²h. O diâmetro é a distância de um lado ao outro da base circular passando pelo centro, então é o dobro do raio. Em um só passo, a fórmula é V = πd²h ÷ 4, que dá exatamente a mesma resposta.
Exemplo
Uma lata tem 8 cm de diâmetro e 12 cm de altura. Metade do diâmetro dá um raio de 4 cm. Então 4² × π × 12 = 192π ≈ 603,19 cm³.
Com a fórmula de um só passo, 8² = 64, e depois 64 × π × 12 ÷ 4 = 192π ≈ 603,19 cm³. Os dois caminhos dão o mesmo resultado.
Colocar o diâmetro direto em πr²h é um erro muito comum. Com a lata acima, isso dá 64 × π × 12 ≈ 2.412,74 cm³, que é quatro vezes maior do que deveria. Se uma resposta parecer grande demais, confira se você dividiu o diâmetro por 2 primeiro.
Como converter o volume de um cilindro para litros?
Para converter o volume de um cilindro para litros, calcule o volume em centímetros cúbicos e divida por 1.000, porque 1 litro é 1.000 cm³. Se o volume estiver em metros cúbicos, multiplique por 1.000, porque 1 m³ comporta 1.000 litros. Antes de começar, verifique se todas as medidas estão na mesma unidade.
Exemplo
Um copo tem 7 cm de diâmetro e 10 cm de altura, medidos por dentro.
- Calcule o raio. 7 ÷ 2 = 3,5 cm
- Calcule o volume. 3,5² × π × 10 ≈ 384,85 cm³
- Converta para litros. 384,85 ÷ 1.000 ≈ 0,38 litro, ou cerca de 385 ml
Para um exemplo maior, pegue uma caixa-d'água com raio de 0,5 m e altura de 1,2 m. O volume dela é 0,5² × π × 1,2 ≈ 0,94 m³. Multiplique por 1.000 e você vê que a caixa-d'água comporta cerca de 942 litros.
Um problema frequente são as unidades misturadas, como um raio em centímetros e uma altura em metros. Converta tudo para uma única unidade primeiro. Passar entre cm³, m³, mililitros e litros fica muito mais rápido com algumas rodadas de conversão de unidades.
Como calcular a altura ou o raio de um cilindro a partir do volume?
Para calcular a altura, divida o volume pela área da base, ou seja, h = V ÷ (πr²). Para calcular o raio, divida o volume por π vezes a altura e depois tire a raiz quadrada, ou seja, r = √(V ÷ (πh)). As duas fórmulas são apenas V = πr²h feita de trás para frente, um passo de cada vez.
Exemplo
Uma jarra cilíndrica precisa comportar 1 litro, que é 1.000 cm³, e o raio dela é 5 cm. A altura precisa ser 1.000 ÷ (π × 5²) = 1.000 ÷ 78,54 ≈ 12,73 cm.
Agora ao contrário. Um cilindro com 10 cm de altura comporta 500 cm³. O raio dele é √(500 ÷ (π × 10)) = √15,92 ≈ 3,99 cm.
Para conferir qualquer uma das respostas, coloque os números de volta em V = πr²h. Para a jarra, π × 5² × 12,73 ≈ 1.000 cm³, então a altura está certa.
A fórmula fixa melhor quando você a usa com frequência, com números diferentes. No jogo de geometria, cada ataque de uma luta é uma pergunta sobre figuras, então lembrar πr²h rapidamente passa a fazer parte de vencer uma rodada. No jogo, π vale 3, então toda resposta é um número inteiro que dá para calcular de cabeça. Rodadas curtas e frequentes funcionam melhor do que uma sessão longa.
Como calcular o volume de um cilindro oco?
Um cilindro oco, como um cano, é um cilindro grande do qual se tirou um menor do meio. Calcule o volume do cilindro externo, subtraia o volume do buraco, e o que sobra é o material. Como fórmula, fica V = π(R² − r²)h, em que R é o raio externo e r é o raio interno.
Exemplo
Um cano tem 100 cm de comprimento, com raio externo de 5 cm e raio interno de 4 cm.
- Eleve os dois raios ao quadrado. 5² = 25 e 4² = 16
- Subtraia. 25 − 16 = 9
- Multiplique por π e pelo comprimento. 9 × π × 100 = 900π ≈ 2.827,43 cm³
Um erro comum é subtrair os raios antes de elevá-los ao quadrado. Isso dá (5 − 4)² × π × 100 = 100π ≈ 314,16 cm³, que é pequeno demais. Eleve cada raio ao quadrado primeiro e depois subtraia.
Calcule primeiro a área da base e depois multiplique pela altura
Toda questão de volume do cilindro se resume aos mesmos dois passos. Calcule a área da base circular e depois multiplique pela altura. Use esta lista para escolher o ponto de partida certo.
- Com o raio r e a altura h: V = πr²h
- Com o diâmetro d: r = d ÷ 2, ou V = πd²h ÷ 4
- Para calcular a altura: h = V ÷ (πr²)
- Para calcular o raio: r = √(V ÷ (πh))
- Cilindro oco: V = π(R² − r²)h
- Litros: cm³ ÷ 1.000, ou m³ × 1.000
Escreva a resposta em unidades cúbicas e converta para litros só no final, quando o volume estiver certo.