Números inteiros na reta numérica
Na reta numérica, os números inteiros são os pontos igualmente espaçados onde você para quando conta para a frente ou para trás a partir do 0. Números como 1/2, 3,5 ou √2 ficam nos espaços entre eles, então não são inteiros. Veja como diferenciar, por que o zero também é inteiro e como funcionam de verdade as regras de sinais.
Como saber se um número é inteiro?
Um número é inteiro quando dá para escrevê-lo sem fração e sem parte decimal. Ele pode ser positivo, negativo ou zero. O livro OpenStax Prealgebra 2e (em inglês) resume de forma simples, os inteiros são os números que usamos para contar, os seus opostos e o zero. Então 7, −7 e 0 são inteiros, mas 7,5 não é.
Exemplo
Faça estes testes rápidos.
- −12 é inteiro, porque é o oposto de 12.
- 0 é inteiro.
- 3,5 não é inteiro, porque tem parte decimal.
- 1/2 não é inteiro.
- 8/2 é inteiro, porque 8/2 = 4.
- √9 é inteiro, porque √9 = 3.
- √2 não é inteiro, porque vale aproximadamente 1,41.
Os últimos casos mostram um bom hábito. Primeiro calcule o valor, depois decida. Um número pode parecer uma fração ou uma raiz e, mesmo assim, ser inteiro.
O zero é um número inteiro?
Sim, o zero é um número inteiro. Ele fica no meio da reta numérica, entre os inteiros negativos e os positivos. O zero não é positivo nem negativo, como o OpenStax diz claramente. Mas ele é par, porque 0 = 2 × 0, ou seja, dividido por 2 não deixa resto.
Números negativos são inteiros?
Números negativos são inteiros só quando não têm fração nem parte decimal. −5 e −100 são inteiros. −2,5 e −3/4 são negativos, mas não são inteiros. O mesmo teste vale para qualquer número, seja qual for o sinal.
Qual é a diferença entre números inteiros e números naturais?
Na escola brasileira, os números naturais são 0, 1, 2, 3 e assim por diante, sem negativos. Os números inteiros incluem todos os naturais e também os negativos, −1, −2, −3 e assim por diante. Por isso −4 é inteiro, mas não é natural. Alguns livros começam os naturais no 1, então vale conferir a definição que a escola do seu filho usa.
Exemplo
Veja como os principais conjuntos se encaixam um dentro do outro.
- Naturais não nulos: 1, 2, 3, 4, …
- Números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, …
- Números inteiros: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
- Números racionais: todos os que podem ser escritos como fração de dois inteiros, como 1/2, −3/4 e 7 (que é 7/1)
Os matemáticos representam o conjunto dos números inteiros por ℤ. A letra vem da palavra alemã Zahlen, que significa “números”. Os naturais são representados por ℕ. Até sobre eles existe uma pequena divergência, porque alguns livros começam no 0 e outros no 1.
Onde aparecem os números inteiros no dia a dia?
Os números inteiros aparecem sempre que contamos para cima e para baixo a partir de um ponto zero. Temperaturas abaixo de zero, andares de subsolo, profundidades abaixo do nível do mar e o saldo de gols de um time de futebol são inteiros que podem ser negativos. Em todos esses casos, o 0 é um ponto de referência, e não “nada”.
Exemplo
De manhã a temperatura é de −4 °C e até a hora do almoço sobe 7 graus. Comece em −4 e conte 7 passos para cima na reta numérica, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. No almoço faz 3 °C, então −4 + 7 = 3.
No elevador, pense no térreo como o 0, na garagem do segundo subsolo como −2 e no quinto andar como 5. Para ir do −2 ao 5, você sobe 7 andares, porque 5 − (−2) = 7.
Como somar e subtrair números inteiros?
Para somar inteiros, imagine uma reta numérica. Somar um número positivo leva você para a direita, e somar um número negativo leva para a esquerda. Subtrair é o contrário de somar, então subtrair um número negativo leva você para a direita. Por isso, tirar um negativo dá um resultado maior.
Exemplo
Calcule −3 + 5. Comece em −3 e dê 5 passos para a direita. Você passa por −2, −1, 0 e 1, e para no 2. Então −3 + 5 = 2.
Mais alguns para praticar.
- −6 + 2 = −4, porque 2 passos para a direita a partir de −6 levam a −4.
- −2 − 5 = −7, porque 5 passos para a esquerda a partir de −2 levam a −7.
- 4 − (−3) = 7, porque subtrair −3 é o mesmo que somar 3.
Por que subtrair um negativo aumenta o resultado?
Subtrair é perguntar “qual é a diferença?”. A diferença entre 4 e −3 na reta numérica é de 7 passos, então 4 − (−3) = 7. O OpenStax escreve a regra geral como a − (−b) = a + b. Muitas crianças travam em −5 + 4 porque veem o sinal de mais e esperam um número maior. Começando em −5 e andando 4 para a direita, dá para ver que o resultado é −1.
Por que menos vezes menos dá mais?
Na multiplicação de dois inteiros, o resultado é positivo se os sinais forem iguais e negativo se forem diferentes. Negativo vezes negativo dá positivo por causa de um padrão. Cada vez que o primeiro número diminui 1, o resultado muda na mesma quantidade, e esse padrão só continua se o resultado ficar positivo.
Exemplo
Observe o que acontece com 3 × (−2) quando o primeiro número diminui 1 de cada vez.
- 3 × (−2) = −6
- 2 × (−2) = −4
- 1 × (−2) = −2
- 0 × (−2) = 0
- (−1) × (−2) = 2
- (−2) × (−2) = 4
Cada resultado é 2 a mais que o anterior. Para o padrão continuar depois do zero, (−1) × (−2) tem que dar 2. Outra forma de imaginar é que multiplicar por −1 faz você dar meia-volta na reta numérica. Dê meia-volta duas vezes e você estará olhando para o mesmo lado de novo.
A divisão de inteiros segue a mesma regra de sinais?
Sim. (−12) ÷ 3 = −4 e (−12) ÷ (−3) = 4, com a mesma regra de sinais iguais e diferentes. Mas existe uma diferença. Somar, subtrair ou multiplicar dois inteiros sempre dá um inteiro, mas dividir nem sempre. 8 ÷ 2 = 4 é inteiro, enquanto 7 ÷ 2 = 3,5 não é.
Como ganhar agilidade com números inteiros?
A agilidade com inteiros vem de fazer muitas contas curtas até a reta numérica ficar na cabeça. No jogo de números negativos, cada ataque é uma conta rápida com números negativos, então as crianças treinam as regras de sinais enquanto se concentram em vencer a luta.
Na rodada acima, subtrair −17 é o mesmo que somar 17, então −1 − (−17) = −1 + 17 = 16.
A distância de um número até o zero se chama módulo ou valor absoluto, então o módulo de −5 é 5. É a próxima ideia que a maioria dos alunos estuda depois dos inteiros, e o jogo de valor absoluto transforma esse conteúdo em uma série de rodadas rápidas.
Números inteiros são os números que você alcança contando para a frente ou para trás
Cada número inteiro é um passo que você alcança contando a partir do 0, para a direita nos positivos e para a esquerda nos negativos. O zero fica no meio e também faz parte do grupo. Se a criança consegue imaginar essa reta numérica, as regras de somar, subtrair e multiplicar deixam de ser regras para decorar e começam a fazer sentido.
Treine estes a seguir