Como se calcula a área do círculo?
Para calcular a área de um círculo, eleva ao quadrado o raio, que é a distância do centro à borda, e multiplica o resultado por π, que vale cerca de 3,14. Escreve a resposta em unidades quadradas, como cm² ou m², porque a área mede uma superfície e não um comprimento.
Exemplo
Calcula a área de um círculo com 5 cm de raio.
- Eleva o raio ao quadrado. 5 × 5 = 25
- Multiplica por π. 25 × π ≈ 78,54
- Acrescenta as unidades quadradas. A área é de cerca de 78,54 cm²
Também podes deixar a resposta como 25π cm². Esta forma exata é comum nos anos de escolaridade mais avançados, porque evita arredondamentos.
Uso 3,14 ou a tecla π?
Ambos servem, desde que sigas o que o professor ou o enunciado pede. π é um número irracional, por isso as suas casas decimais nunca acabam nem se repetem, como explica a Britannica. Com 3,14 obténs 25 × 3,14 = 78,5 cm², enquanto a tecla π dá 78,54 cm². A pequena diferença vem apenas do arredondamento de π.
Erros frequentes com a fórmula
O erro mais frequente é multiplicar o raio por 2 em vez de o elevar ao quadrado. Com um raio de 5 cm, 5 × 2 = 10, mas 5² = 25. Outro deslize é multiplicar primeiro π pelo raio e depois elevar todo o resultado ao quadrado. A prioridade das operações diz que a potência vem primeiro, por isso eleva o raio ao quadrado antes de multiplicar por π.
Como se calcula a área do círculo a partir do diâmetro?
Para calcular a área a partir do diâmetro, divide o diâmetro por 2 para obteres o raio e depois usa A = πr². O diâmetro atravessa o círculo de um lado ao outro passando pelo centro, por isso mede o dobro do raio. Num só passo, a fórmula é A = πd² : 4, que dá exatamente o mesmo resultado.
Exemplo
Um círculo tem 10 cm de diâmetro. Divide por 2 e obténs um raio de 5 cm. Então 5² × π = 25π ≈ 78,54 cm².
Com a fórmula de um só passo, 10² = 100, e depois 100 × π : 4 = 25π ≈ 78,54 cm². Os dois caminhos dão o mesmo resultado.
Um erro muito comum é colocar o diâmetro diretamente em πr². Com 10 cm, isso dá 100π ≈ 314,16 cm², que é quatro vezes mais do que devia. Se uma resposta te parecer surpreendentemente grande, verifica se usaste o diâmetro sem querer.
Como se calcula a área do círculo a partir do perímetro?
Para calcular a área a partir do perímetro, ou seja, do comprimento da circunferência, primeiro encontra o raio dividindo o perímetro por 2π. Depois usa A = πr². A circunferência é a linha que contorna o círculo, e o seu comprimento é 2πr. Se preferires um só passo, a fórmula é A = C² : (4π), em que C é o perímetro.
Exemplo
Um canteiro redondo tem 30 m de perímetro. Calcula a sua área.
- Encontra o raio. 30 : (2 × π) ≈ 4,77 m
- Encontra a área. Mantém o raio completo na calculadora. π × 4,7746² ≈ 71,6 m²
- Verifica com a fórmula de um só passo. 30² : (4 × π) = 900 : 12,566 ≈ 71,6 m²
Se arredondares primeiro o raio para 4,77, obténs π × 4,77² ≈ 71,5 m². Esta pequena diferença é a razão por que é melhor arredondar só no fim.
Porque é que a área do círculo é πr²?
Corta um círculo em muitas fatias iguais, como uma piza, e coloca-as em fila, uma virada para cima e outra para baixo. As fatias formam uma figura que é quase um retângulo. A sua altura é o raio, r, e o seu comprimento é metade do perímetro, πr. Por isso, a sua área é πr × r, ou seja, πr².
Exemplo
Imagina um círculo com 5 cm de raio cortado em 16 fatias. Metade das fatias aponta para cima e a outra metade para baixo. A fila é tão comprida como meia circunferência, π × 5 ≈ 15,7 cm, e tão alta como o raio, 5 cm. Por isso, a área é de cerca de 15,7 × 5 ≈ 78,5 cm², igual à da fórmula.
Com apenas 16 fatias, as bordas ainda ficam um pouco onduladas. Com 100 ou 1000 fatias, a figura fica cada vez mais parecida com um retângulo perfeito. Esta é a ideia por trás da fórmula, e é muito mais fácil de lembrar do que a fórmula sozinha.
O matemático grego Arquimedes trabalhou neste problema há mais de 2000 anos. A Britannica conta como ele provou que a área de um círculo dividida pelo quadrado do seu raio é sempre o mesmo número, e como usou polígonos dentro e fora de um círculo para mostrar que π está entre 223/71 e 22/7.
Uma forma rápida de verificar a resposta
Um círculo cabe exatamente dentro de um quadrado cujos lados medem o mesmo que o diâmetro. Esse quadrado tem uma área de 2r × 2r = 4r². O círculo ocupa um pouco mais de três quartos dele, cerca de 78,5 %, porque π : 4 ≈ 0,785. Assim, se um círculo com 5 cm de raio estiver dentro de um quadrado com 10 cm de lado e 100 cm², a sua área deve ser um pouco menor do que 80 cm². É de 78,54 cm².
A fórmula fixa-se melhor quando a usas muitas vezes, com números diferentes. No jogo de geometria, cada ataque de um combate é uma pergunta sobre figuras, por isso lembrar πr² depressa passa a fazer parte de ganhar uma ronda. No jogo, π vale 3, por isso todas as respostas são números inteiros que consegues calcular de cabeça. Rondas curtas e frequentes funcionam melhor do que uma sessão longa.
Como se calcula o raio quando sabes a área?
Para encontrar o raio a partir da área, percorre a fórmula ao contrário. Divide a área por π e depois calcula a raiz quadrada do resultado. Como fórmula, fica r = √(A : π). Multiplica o raio por 2 se precisares do diâmetro.
Exemplo
Um círculo tem 50 cm² de área. Divide por π. 50 : π ≈ 15,92. Depois calcula a raiz quadrada. √15,92 ≈ 3,99, por isso o raio mede cerca de 3,99 cm e o diâmetro cerca de 7,98 cm.
Para verificar, volta a pôr o raio na fórmula. π × 3,99² ≈ 50,0 cm². Se as raízes quadradas estão um pouco enferrujadas, algumas rondas de raízes quadradas tornam este passo muito mais rápido.
Uma piza grande é maior do que duas pequenas?
Muitas vezes, sim. Como o raio é elevado ao quadrado, duplicar o diâmetro de um círculo torna a área quatro vezes maior. Uma piza com 30 cm de diâmetro tem uma área de cerca de 707 cm². Duas pizas com 20 cm de diâmetro somam cerca de 628 cm², por isso a piza grande dá-te mais.
Exemplo
Na piza de 30 cm, o raio é de 15 cm, por isso a área é π × 15² ≈ 706,9 cm². Numa piza de 20 cm, o raio é de 10 cm, por isso a área é π × 10² ≈ 314,2 cm². As duas juntas somam cerca de 628,3 cm², uns 79 cm² a menos do que a piza grande.
Este tipo de comparação é uma ótima forma de mostrar às crianças porque é que elevar ao quadrado faz diferença. Um círculo só um pouco mais largo cobre muito mais superfície.
Qual é a área de um semicírculo?
Um semicírculo é metade de um círculo, por isso a sua área é metade de πr², ou seja, πr² : 2. Para um semicírculo com 5 cm de raio, a área é 25π : 2 ≈ 39,27 cm². Lembra-te de usar o raio, e não o comprimento do lado reto, que é o diâmetro.
Encontra primeiro o raio, e o resto vem por si
Quase todos os problemas de área do círculo ficam fáceis quando sabes o raio. Usa esta lista para escolher o primeiro passo certo.
- Se sabes o raio r: A = πr²
- Se sabes o diâmetro d: r = d : 2, ou A = πd² : 4
- Se sabes o perímetro C: r = C : (2π), ou A = C² : (4π)
- Se sabes a área e procuras o raio: r = √(A : π)
- Semicírculo: A = πr² : 2
Escreve no fim as unidades ao quadrado e usa a verificação do quadrado para ver se a resposta tem mais ou menos o tamanho certo.
Treina estes a seguir