Como se calcula o perímetro do círculo a partir do raio ou do diâmetro?
Para calcular o perímetro de um círculo, também chamado comprimento da circunferência, multiplica o diâmetro por π, que vale cerca de 3,14, ou seja, C = πd. O diâmetro é a distância de um lado ao outro, passando pelo centro. Se só souberes o raio, a distância do centro até à borda, duplica-o primeiro ou usa C = 2πr. Os dois caminhos dão o mesmo comprimento.
Exemplo
Calcula o perímetro de um círculo com 4 cm de raio.
- Duplica o raio para obteres o diâmetro. 2 × 4 = 8 cm
- Multiplica por π. 8 × π ≈ 25,13
- Junta a unidade. O perímetro é de cerca de 25,13 cm
Também podes deixar a resposta como 8π cm. Esta forma exata é comum nos anos de escolaridade mais avançados, porque evita arredondar.
Com o diâmetro, basta um passo. Uma mesa redonda com 1,2 m de diâmetro tem um perímetro de 1,2 × π ≈ 3,77 m, por isso uma tira de acabamento para a borda tem de medir um pouco menos de 4 m.
Usar 3,14 ou a tecla π?
As duas opções servem, desde que sigas o que o enunciado pede. π é um número irracional, por isso as suas casas decimais nunca terminam nem se repetem, e a Britannica refere que 3,14 ou 22/7 são as aproximações habituais do dia a dia. Com 3,14, o primeiro exemplo dá 8 × 3,14 = 25,12 cm. Com a tecla π da calculadora, dá 25,13 cm. A pequena diferença vem apenas do arredondamento de π.
O erro mais comum
O deslize que mais pontos faz perder nos testes é pôr o diâmetro em C = 2πr. Com um diâmetro de 10 cm, isso dá 2 × π × 10 ≈ 62,83 cm, o dobro do valor certo. A resposta correta é 10 × π ≈ 31,42 cm. Se tens o diâmetro, usa πd. Se tens o raio, usa 2πr.
Porque é que o perímetro do círculo é π vezes o diâmetro?
π define-se como o perímetro de um círculo a dividir pelo seu diâmetro. Todos os círculos, de uma moeda a um planeta, têm a mesma forma, por isso esta razão nunca muda. É por isso que C = πd funciona para qualquer círculo. Faz rolar um círculo ao longo de uma reta durante uma volta completa, e ele percorre um pouco mais de três diâmetros.
Exemplo
Imagina uma moeda com 2 cm de diâmetro. Marca um ponto na borda e fá-la rolar sobre uma régua exatamente uma volta. A marca volta a tocar na régua a cerca de 6,28 cm, porque 2 × π ≈ 6,28. Três diâmetros dão 6 cm, e o pequeno pedaço extra são os 0,28 cm que transformam 3 em 3,14.
Podes testar isto em casa com uma lata redonda, um pedaço de cordel e uma régua, ou com qualquer objeto redondo e uma fita métrica. Mede o perímetro e o diâmetro e depois divide um pelo outro. O resultado fica sempre perto de 3,14, e os pequenos erros vêm de medir à mão.
A letra grega π foi usada pela primeira vez para esta razão por William Jones em 1706, segundo a Britannica. O mesmo artigo descreve como Arquimedes encurralou π entre 223/71 e 22/7, desenhando polígonos dentro e fora de um círculo.
Como se calcula o diâmetro ou o raio a partir do perímetro?
Para encontrar o diâmetro a partir do perímetro, divide o perímetro por π, ou seja, d = C ÷ π. Para encontrar o raio, divide por 2π, ou seja, r = C ÷ (2π). Isto funciona porque é a fórmula do perímetro usada ao contrário. Mede a volta, e a medida de um lado ao outro surge daí.
Exemplo
Um tronco de árvore mede 150 cm de perímetro. O diâmetro é 150 ÷ π ≈ 47,75 cm, e o raio é metade disso, cerca de 23,87 cm.
É um truque útil para tudo o que não consegues medir de um lado ao outro, como uma árvore, uma coluna ou um cano. Uma fita métrica à volta e uma única divisão dão-te o diâmetro.
Como se calcula o perímetro a partir da área?
Para encontrar o perímetro a partir da área, primeiro calcula o raio. Divide a área por π e calcula a raiz quadrada, ou seja, r = √(A ÷ π). Depois usa C = 2πr. Guarda o raio completo na calculadora e arredonda só no fim, para que os pequenos erros de arredondamento não se acumulem.
Exemplo
Um círculo tem uma área de 100 cm².
- Calcula o raio. 100 ÷ π ≈ 31,83, e √31,83 ≈ 5,64 cm
- Calcula o perímetro. 2 × π × 5,642 ≈ 35,45 cm
Também existe uma fórmula num só passo, C = 2√(πA). Com 100 cm², dá 2 × √(π × 100) ≈ 35,45 cm, a mesma resposta. Se as raízes quadradas te parecem lentas, algumas rondas de raízes quadradas tornam este passo muito mais rápido.
Quanto avança uma roda numa volta?
Uma roda avança um perímetro sempre que dá uma volta, desde que role sem deslizar. Assim, a distância de uma volta é π vezes o diâmetro da roda. Uma roda de bicicleta com 70 cm de diâmetro avança cerca de 2,2 m por volta, e 1000 voltas levam-na a cerca de 2,2 km.
Exemplo
Para a roda de 70 cm, uma volta é 70 × π ≈ 219,9 cm, ou cerca de 2,2 m. Para percorrer 1 km, que são 100 000 cm, a roda dá 100 000 ÷ 219,9 ≈ 455 voltas.
É exatamente assim que muitos conta-quilómetros de bicicleta e pedómetros estimam a distância. Contam voltas ou passos e multiplicam-nos por um comprimento conhecido. Também é uma boa forma de mostrar às crianças que π não é só um número da escola.
A fórmula fixa-se melhor quando a usas muitas vezes, com números diferentes. No jogo de geometria, cada ataque de um combate é uma pergunta sobre figuras, por isso lembrares-te rapidamente de C = πd passa a fazer parte de ganhar uma ronda. No jogo π vale 3, por isso cada resposta é um número inteiro que consegues calcular de cabeça. Rondas curtas e frequentes resultam melhor do que uma sessão longa.
Qual é o perímetro de um semicírculo?
O perímetro de um semicírculo é metade do perímetro do círculo mais o lado reto, ou seja, P = πr + 2r. Um erro comum é parar em πr e esquecer o diâmetro na base. Para um raio de 5 cm, a parte curva mede 5π ≈ 15,71 cm, e somando 10 cm obténs cerca de 25,71 cm.
Qual é a ligação entre o perímetro e o círculo trigonométrico?
O círculo trigonométrico tem raio 1, por isso o seu perímetro é exatamente 2π. É por isso que uma volta completa corresponde a 2π radianos em trigonometria. O círculo trigonométrico usa esta ideia para medir ângulos como distâncias ao longo da borda.
Conhece o raio ou o diâmetro e tens o perímetro
Quase todas as perguntas sobre o perímetro do círculo se resumem a uma multiplicação quando sabes o raio ou o diâmetro. Usa esta lista para escolher o passo certo.
- Com o raio r: C = 2πr
- Com o diâmetro d: C = πd
- Com o perímetro, para encontrar o diâmetro: d = C ÷ π
- Com o perímetro, para encontrar o raio: r = C ÷ (2π)
- Com a área A: r = √(A ÷ π), depois C = 2πr
- Semicírculo: P = πr + 2r
A resposta é sempre um comprimento, por isso escreve-a em cm, m ou noutra unidade de comprimento, nunca em unidades quadradas.
Treina estes a seguir