Como se constrói a sucessão de Fibonacci?
Para construir a sucessão de Fibonacci, escreve 0 e 1, soma os dois últimos números para obteres o seguinte e repete esse passo vezes sem conta. Cada número novo depende apenas dos dois anteriores, por isso a lista pode continuar para sempre. Os números que escreves desta forma chamam-se números de Fibonacci.
Exemplo
Constrói a sucessão passo a passo. Começa com 0 e 1.
- 0 + 1 = 1
- 1 + 1 = 2
- 1 + 2 = 3
- 2 + 3 = 5
- 3 + 5 = 8
- 5 + 8 = 13
- 8 + 13 = 21
Cada número novo só precisa dos dois últimos. Por isso é um bom desafio de cálculo mental para crianças, porque os números crescem depressa, mas a regra nunca muda. A regra é tão simples que uma criança pequena a percebe, e mesmo assim os mesmos números aparecem nos girassóis, nas pinhas e no número de ouro.
A sucessão começa em 0 ou em 1?
As duas versões são comuns. Muitos livros começam com 0, 1, 1, 2, 3, e outros com 1, 1, 2, 3. Os números que vêm a seguir são os mesmos nos dois casos. Os matemáticos costumam escrever a regra como Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂, com F₀ = 0 e F₁ = 1, o que significa «cada termo é a soma dos dois anteriores».
Padrões escondidos na sucessão
A sucessão tem pequenos padrões que as crianças adoram descobrir. Um em cada três números é par (0, 2, 8, 34, 144, 610), e todos os outros são ímpares. Um em cada cinco números é divisível por 5 (0, 5, 55, 610). Pede a uma criança que verifique estes padrões mais à frente na lista. É uma forma divertida de praticar a adição e descobrir estruturas ao mesmo tempo.
De onde vem a sucessão de Fibonacci?
A sucessão tem o nome de Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci, um matemático italiano. Descreveu-a no seu livro Liber abaci, escrito em 1202, através de um problema sobre coelhos. Segundo a Britannica, é a primeira sucessão numérica recursiva conhecida na Europa, ou seja, cada termo é construído a partir dos anteriores.
Exemplo
O problema dos coelhos funciona assim. Começas com um casal de coelhos recém-nascidos. Um casal precisa de um mês para se tornar adulto e, a partir daí, cada casal adulto tem um casal novo por mês. Nenhum coelho se vai embora. Conta os casais no início de cada mês.
- Mês 1: 1 casal (recém-nascido)
- Mês 2: 1 casal (já adulto)
- Mês 3: 2 casais (os adultos e as suas primeiras crias)
- Mês 4: 3 casais
- Mês 5: 5 casais
- Mês 6: 8 casais
O total de cada mês é o total do mês anterior mais o número de casais adultos, e os adultos são exatamente o total de dois meses antes. Esta é a regra de Fibonacci. Claro que os coelhos verdadeiros não se comportam de forma tão arrumada. O problema era uma maneira de descrever o padrão, não um estudo sobre animais.
Como se encontra o número seguinte da sucessão de Fibonacci?
Para encontrar o número de Fibonacci seguinte, soma os dois últimos números da lista. Depois de 21 e 34 vem 21 + 34 = 55, e depois de 34 e 55 vem 89. Para encontrar um número muito avançado na sucessão, vai aumentando a lista ou usa a fórmula de Binet, que calcula qualquer termo diretamente com o número de ouro.
Exemplo
Encontra o 10.º número de Fibonacci, contando F₀ = 0 como ponto de partida. Se escreveres a lista, obténs 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, portanto F₁₀ = 55.
A fórmula de Binet dá a mesma resposta sem a lista. Eleva o número de ouro φ (cerca de 1,618) à décima potência e divide por √5. Isso dá cerca de 122,99 : 2,236 ≈ 55,004 e, arredondando às unidades, obténs 55. Para os alunos mais velhos é uma bela surpresa, porque um número construído com raízes quadradas fica sempre muito perto de um número inteiro.
Descobrir a regra por trás de uma lista de números é uma capacidade que vai muito além de Fibonacci. O jogo de sequências numéricas transforma isso num combate, em que cada ataque é uma sequência e tens de encontrar o número que falta. É uma forma rápida de praticar padrões como «soma os dois últimos» sem escrever nada.
Qual é a relação entre a sucessão de Fibonacci e o número de ouro?
Se dividires cada número de Fibonacci pelo anterior, os resultados aproximam-se cada vez mais do número de ouro, cerca de 1,618. Por exemplo, 8 : 5 = 1,6, 13 : 8 = 1,625 e 89 : 55 ≈ 1,618. O número de ouro é (1 + √5) : 2, um número cujas casas decimais nunca acabam nem se repetem.
Exemplo
Repara como os quocientes estabilizam à medida que os números crescem.
- 3 : 2 = 1,5
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 55 : 34 ≈ 1,618
Os resultados ficam umas vezes acima e outras abaixo de 1,618, e aproximam-se mais de cada vez. A Britannica refere que esta relação foi descrita pelo matemático Robert Simson em 1753.
O que é a espiral de Fibonacci?
Desenha um quadrado de lado 1, depois outro quadrado de lado 1 ao lado, depois um de lado 2, depois 3, depois 5 e depois 8, cada um encostado ao retângulo que já tens. Une os cantos opostos de cada quadrado com um quarto de circunferência e obténs a espiral de Fibonacci. É uma aproximação muito boa da espiral de ouro, que cresce segundo o número de ouro a cada quarto de volta.
Onde aparece a sucessão de Fibonacci na natureza?
Os números de Fibonacci aparecem muitas vezes nas plantas. As sementes de um girassol formam dois conjuntos de espirais, e o número de espirais em cada sentido é normalmente um par de números de Fibonacci consecutivos, como 34 e 55 ou 55 e 89. As pinhas mostram espirais semelhantes, e muitas flores têm 3, 5, 8, 13 ou 21 pétalas.
Exemplo
Pega numa pinha ou numa fotografia de um girassol e conta as espirais que rodam no sentido dos ponteiros do relógio. Depois conta as que rodam no sentido contrário. As páginas sobre Fibonacci na natureza do Dr. Ron Knott, da Universidade de Surrey, mostram girassóis com 55 espirais num sentido e 34 no outro, e outros maiores com 89 e 55.
As mesmas páginas organizam flores pelo número de pétalas, como as esporas com 8, a tasneira e algumas margaridas com 13, e os ásteres com 21. Contar em conjunto é uma atividade prática muito bonita, e mostra às crianças que os números descrevem coisas reais à sua volta.
Porque crescem as plantas em espirais de Fibonacci?
Muitas plantas colocam cada semente ou folha nova com quase o mesmo ângulo de rotação em relação à anterior, cerca de 137,5°. Este ângulo, ligado ao número de ouro, junta as sementes muito bem, sem deixar espaços vazios, e as espirais que consegues contar são uma consequência dessa rotação constante. A segunda parte do guia de Ron Knott mostra porque é que este ângulo funciona tão bem.
A sucessão de Fibonacci está mesmo em toda a natureza?
Não. Os números de Fibonacci são frequentes nas plantas, mas não são uma lei da natureza. As páginas de Ron Knott em Surrey lembram que nem sempre vais encontrar números de Fibonacci nas pétalas ou nas cabeças de sementes, e algumas flores, como as fúcsias, têm 4 pétalas. Muitas afirmações na internet, sobretudo sobre conchas, rostos e edifícios famosos, exageram aquilo que as provas mostram.
Exemplo
A concha do náutilo aparece muitas vezes com uma espiral de ouro desenhada por cima. A concha cresce de facto em espiral logarítmica, uma curva que mantém a mesma forma à medida que fica maior. Mas as páginas de Knott referem que o seu fator de crescimento varia e pode não ser o número de ouro, e que chamar-lhe espiral de ouro é incorreto. Portanto, o náutilo é uma espiral lindíssima, mas não é uma prova de Fibonacci.
Esta é também uma lição útil para crianças mais velhas. Um padrão que aparece muitas vezes merece atenção, mas a pergunta honesta é sempre «com que frequência e com que rigor?». Contar as espirais de uma pinha verdadeira é um teste melhor do que qualquer imagem da internet.
Dois números iniciais e uma regra constroem a sucessão inteira
Cada número de Fibonacci vem do mesmo passo, somar os dois números anteriores. Aqui tens os 21 primeiros termos, a começar em F₀ = 0, para poderes verificar a tua lista.
- 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
- 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987
- 1597, 2584, 4181, 6765
Se uma criança se perder, volta com ela aos dois últimos números de que tem a certeza e soma outra vez. A regra nunca muda, por isso um erro é sempre fácil de corrigir.
Treina estes a seguir