Se isto te parece errado, estás em boa companhia. Milhares de pessoas, algumas delas com doutoramento, recusaram-se a acreditar ao início. Em baixo tens o enigma e, a seguir, várias maneiras de perceber porque é que trocar compensa. É provável que uma delas te faça perceber de vez.
Como funciona o problema de Monty Hall?
Estás num concurso de televisão diante de três portas fechadas. Atrás de uma está um carro e atrás das outras duas estão cabras. Escolhes uma porta. O apresentador, que sabe onde está o carro, abre uma das outras duas e mostra-te uma cabra. Depois pergunta-te se queres ficar com a tua porta ou trocar para a outra que continua fechada.
A maioria encolhe os ombros e diz que tanto faz. Restam duas portas, por isso tem de ser 50/50. Não é. Se trocares, ganhas o carro 2 em cada 3 vezes.
O enigma deve o nome a Monty Hall, apresentador do concurso televisivo Let's Make a Deal. A famosa resposta depende de três regras.
- O apresentador abre sempre uma porta que não escolheste.
- O apresentador mostra sempre uma cabra, nunca o carro.
- O apresentador oferece-te sempre a troca.
Porque é que trocar ganha 2 em cada 3 vezes?
A tua primeira escolha está errada 2 em cada 3 vezes. Sempre que está errada, o apresentador não tem alternativa. Tem de abrir a outra porta com cabra, e o carro fica atrás da porta para a qual podes trocar. Por isso, trocar ganha sempre que a primeira escolha estava errada e só perde quando acertaste no carro logo à primeira.
Exemplo
Imagina que escolhes sempre a porta 1. O carro só pode estar em três sítios, e todos são igualmente prováveis.
- O carro está atrás da porta 1. O apresentador abre a porta 2 ou a porta 3. Ficar ganha, trocar perde.
- O carro está atrás da porta 2. O apresentador tem de abrir a porta 3. Ficar perde, trocar ganha.
- O carro está atrás da porta 3. O apresentador tem de abrir a porta 2. Ficar perde, trocar ganha.
Faz as contas. Ficar ganha uma vez, trocar ganha duas. E funciona da mesma maneira seja qual for a porta por onde começas.
Há outra forma de ver a coisa. A tua porta começa com uma probabilidade de 1 em 3, e as outras duas partilham os restantes 2 em 3. Quando o apresentador abre uma delas, o carro não sai do sítio. Ele está só a mostrar-te qual dessas duas portas fica agora com os 2 em 3 todos.
Porque é que não é 50/50 quando restam duas portas?
Porque o apresentador não abre uma porta ao acaso. Sabe onde está o carro e evita-o sempre, por isso a porta que deixa fechada foi escolhida com esse conhecimento. A tua porta foi escolhida às cegas e mantém a probabilidade de 1 em 3. A outra porta fechada fica com o resto, 2 em 3.
Um artigo da Scientific American sobre o enigma atribui o erro àquilo a que os psicólogos chamam viés de equiprobabilidade. Temos tendência para assumir que os resultados que temos à frente são igualmente prováveis. Duas portas parecem um cara ou coroa, e deixamos de pensar.
A outra armadilha é que o gesto do apresentador parece não te dizer nada. Na verdade, diz-te muito. Sempre que a tua porta esconde uma cabra, o apresentador é obrigado a deixar fechada a porta do carro. Essa escolha forçada é a informação escondida.
A versão com 100 portas torna tudo mais fácil?
Para muita gente, sim. Imagina 100 portas e um só carro. Escolhes uma e o apresentador, que sabe onde está o carro, abre 98 das outras e mostra 98 cabras. Fica uma porta fechada. A tua porta tinha uma probabilidade de 1 em 100. A porta que o apresentador saltou com todo o cuidado tem agora os outros 99 em 100.
Exemplo
Escolhes a porta 37. O apresentador abre todas as portas da 1 à 100, exceto a 37 e a 82. Achas mesmo que a tua escolha ao acaso foi a da sorte? É muito mais provável que ele tenha saltado a 82 porque o carro está lá atrás.
Marilyn vos Savant, que tornou o enigma famoso, usou uma versão ainda maior, com um milhão de portas. Com três portas a ideia é a mesma, só que é mais difícil de sentir. Se as 100 portas não te ajudarem, experimenta pensar antes em estar errado. A tua primeira escolha está errada 2 em cada 3 vezes, e trocar transforma cada escolha errada numa vitória.
O que acontece se o apresentador não souber onde está o carro?
Nesse caso, trocar deixa de ajudar. Se o apresentador abrir uma porta ao acaso e calhar sair uma cabra, ficar e trocar ganham cada um metade das vezes. A resposta de 2 em 3 só é válida quando o apresentador sabe onde está o carro, abre sempre uma porta com cabra e oferece sempre a troca.
Exemplo
Escolhes a porta 1, e um apresentador que não sabe de nada abre a porta 2 ou a porta 3 ao acaso. Às vezes mostra o carro sem querer, e esses jogos ficam estragados. Nos jogos em que aparece uma cabra, o carro está atrás da tua porta exatamente metade das vezes.
O verdadeiro Monty Hall apontou esse mesmo senão. Num artigo do New York Times de 1991, avisou que um concorrente deve desconfiar se o apresentador puder escolher se oferece ou não a troca. Num concurso a sério, a própria oferta pode ser uma armadilha.
Como podes testar tu mesmo o problema de Monty Hall?
Só precisas de três cartas de jogar e de um amigo. Um ás é o carro e as outras duas cartas são as cabras. O teu amigo baralha-as viradas para baixo, tu apontas para uma e o teu amigo vira uma cabra que não escolheste. Joga 30 rondas e troca sempre. Deves ganhar cerca de 20.
Depois joga mais 30 rondas e fica sempre com a tua carta. Desta vez deves ganhar cerca de 10. Com tão poucas rondas os números vão oscilar um pouco, mas a diferença aparece depressa.
Até matemáticos famosos precisaram de ver para crer. A Scientific American refere que o prolífico matemático Paul Erdős também se deixou enganar pelo enigma. Por isso, se ainda te parece errado, pega nas cartas.
O que o enigma treina, no fundo, é contar todos os casos possíveis sem deixar nenhum de fora. O jogo de probabilidades faz o mesmo tipo de pergunta em cada ronda. No combate abaixo, por exemplo, tens de contar de quantas maneiras 4 moedas podem mostrar exatamente 1 cara. A resposta é 4, porque a cara pode estar em qualquer uma das quatro moedas.
Porque é que tanta gente erra no problema de Monty Hall?
Duas portas fechadas parecem simplesmente uma escolha 50/50, e é fácil não reparar no que o apresentador sabe. O arrependimento também deve ter o seu peso. Perder depois de trocar e largar o carro custa mais do que perder por ter ficado, por isso muita gente fica com a primeira porta mesmo quando percebe a matemática.
O enigma apareceu pela primeira vez em 1975, em cartas do estatístico Steve Selvin. Ficou famoso em 1990, quando Marilyn vos Savant lhe respondeu na sua coluna Ask Marilyn, na revista Parade, e disse aos leitores para trocarem. Segundo a Scientific American, recebeu cerca de 10 000 cartas a dizer que estava errada. O New York Times acrescentou que perto de 1000 vinham assinadas por pessoas com doutoramento.
Claro que ela tinha razão. As cartas fazem hoje parte da história e são o melhor lembrete de que um palpite cheio de certeza sobre o acaso pode estar completamente errado.
Troca, desde que o apresentador saiba e abra sempre uma porta com cabra
Com as regras habituais, trocar duplica a tua probabilidade de ganhar, de 1 em 3 para 2 em 3. Se as regras mudarem, a resposta também pode mudar, por exemplo com um apresentador que abre portas ao acaso ou que só oferece a troca quando lhe convém. É esta a lição que vai além dos concursos. Antes de confiares numa probabilidade, pergunta como foi escolhida a informação que tens à frente.
Treina estes a seguir