Equação reduzida da reta (y = mx + b) explicada passo a passo

Porque é que a equação reduzida é tão útil

Quando a equação está escrita desta forma, consegues ler diretamente o declive e o ponto de partida e esboçar a reta em poucos segundos. A seguir vais ver como a interpretar, como a obter a partir de dois pontos ou de outra forma da equação e quais os erros que mais se repetem.

Como se determina a equação reduzida de uma reta?

Para determinar a equação reduzida precisas de duas coisas, o declive m e a ordenada na origem b. O declive obtém-se a partir de dois pontos com m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Depois substituis um ponto e o declive em y = mx + b e resolves em ordem a b. Escreve o resultado com os teus números no lugar de m e b.

Exemplo

Determina a reta que passa pelos pontos (1, 5) e (3, 9).

1. Declive: m = (9 − 5) : (3 − 1) = 4 : 2 = 2
2. Usa o ponto (1, 5): 5 = 2 × 1 + b, logo b = 3
3. Equação: y = 2x + 3
4. Verifica com o outro ponto (3, 9): 2 × 3 + 3 = 9. Está certo.

Esta verificação final demora dez segundos e apanha a maioria dos erros, por isso vale a pena torná-la um hábito.

E se o declive for uma fração?

As frações são perfeitamente normais aqui, e aparecer uma fração não significa que te enganaste. Considera os pontos (4, 0) e (−2, 4). O declive é (4 − 0) : (−2 − 4) = 4 : (−6) = −2/3. Então 0 = −2/3 × 4 + b dá b = 8/3, portanto y = −2/3x + 8/3. Verifica com (−2, 4): 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.

Deixa o declive em forma de fração em vez de o arredondares a um decimal, porque a fração é exata e a verificação dá certinha. Se são as frações que te atrasam, umas quantas rondas do jogo de frações tornam as frações equivalentes e a simplificação muito mais rápidas.

Na ronda acima, 7/10 = 70/100, porque o numerador e o denominador foram ambos multiplicados por 10.

O que significam m e b em y = mx + b?

Em y = mx + b, m é o declive e b é a ordenada na origem. O declive indica quanto varia y quando x aumenta 1, ou seja, quanto a reta sobe por cada passo para a direita. A ordenada na origem é o valor de y quando x = 0, que corresponde ao ponto (0, b) onde a reta interseta o eixo Oy.

Exemplo

Em y = 3x − 2, o declive é 3 e a ordenada na origem é −2. A reta interseta o eixo Oy em (0, −2), e cada passo de 1 para a direita fá-la subir 3. Em y = −2x + 4, o declive é −2, por isso a reta desce 2 por cada passo para a direita e interseta o eixo Oy em (0, 4).

O manual OpenStax College Algebra 2e (em inglês) descreve o declive como «rise over run», aquilo que se sobe a dividir pelo que se avança, e a ordenada na origem como o ponto em que o valor de entrada é zero. Com declive positivo a reta sobe da esquerda para a direita, com declive negativo desce, e quanto maior o número (sem contar com o sinal), mais inclinada é a reta.

Uma forma do dia a dia de imaginar m e b

Uma vela tem 20 cm de altura e gasta 2 cm por hora. A altura ao fim de t horas é h = −2t + 20. O 20 é o ponto de partida (b), e o −2 é quanto varia por hora (m). Ao fim de 3 horas tem 14 cm, e ao fim de 10 horas acabou. Muitos alunos acham mais fácil pensar em b como o valor inicial e em m como a variação em cada passo.

Como se representa graficamente uma reta na forma reduzida?

Para representar y = mx + b, começa pela ordenada na origem, o ponto (0, b) do eixo Oy. A partir daí, usa o declive como aquilo que se sobe a dividir pelo que se avança. Avança para a direita e sobe (ou desce, se o declive for negativo) para encontrar um segundo ponto. Traça uma reta pelos dois pontos e prolonga-a.

Exemplo

Representa y = 2x + 1.

1. Marca a ordenada na origem (0, 1).
2. O declive 2 equivale a 2/1, por isso avança 1 para a direita e sobe 2. Chegas a (1, 3).
3. Traça a reta que passa por (0, 1) e (1, 3).

Com um declive como −2/3, avança 3 para a direita e desce 2. Se usares o denominador como avanço, cais sempre em pontos da quadrícula e é mais fácil traçar a reta com rigor.

Como se passa da equação geral para a equação reduzida?

Para passar uma equação como 2x + 3y = 6 para a forma reduzida, resolve-a em ordem a y. Passa o termo em x para o outro membro e depois divide cada termo pelo número que multiplica o y. O número que multiplica o x passa a ser o declive, e o número que fica sozinho é a ordenada na origem.

Exemplo

Transforma 2x + 3y = 6.

1. Subtrai 2x a ambos os membros: 3y = −2x + 6
2. Divide cada termo por 3: y = −2/3x + 2

O declive é −2/3 e a ordenada na origem é 2. Uma distração frequente é ler o declive como 2 diretamente em 2x + 3y = 6. Os números só indicam o declive e a ordenada na origem quando o y está sozinho num dos membros.

Reta definida por um ponto e o declive ou equação reduzida?

A equação da reta definida por um ponto e pelo declive, y − y₁ = m(x − x₁), dá jeito quando conheces um ponto e o declive, porque a podes escrever de imediato. Para o ponto (1, 5) e declive 2 obténs y − 5 = 2(x − 1). Desenvolve e simplifica, y = 2x − 2 + 5, e voltas a y = 2x + 3. As duas formas descrevem a mesma reta.

Que retas não se podem escrever na forma reduzida?

As retas verticais não se podem escrever na forma reduzida. Todos os pontos de uma reta vertical têm o mesmo x, por isso o avanço é 0 e calcular o declive obrigaria a dividir por zero. É por isso que o declive de uma reta vertical não está definido. A reta vertical que passa por x = 3 escreve-se simplesmente x = 3.

Exemplo

Os pontos (3, 1) e (3, 6) estão numa reta vertical. O declive seria (6 − 1) : (3 − 3) = 5 : 0, que não tem resultado. Logo, a reta é x = 3. Além disso, uma reta vertical nunca interseta o eixo Oy, a não ser que seja o próprio eixo, por isso não há ordenada na origem para pôr no lugar de b.

As retas horizontais não dão problemas. Os pontos (−1, 4) e (5, 4) dão um declive de 0 : 6 = 0, por isso a reta é y = 0x + 4, ou seja, simplesmente y = 4.

Quais são os erros mais comuns com a equação reduzida?

A maior parte dos erros com a equação reduzida são pequenas distrações, não falta de compreensão. Trocam-se as coordenadas de um ponto, subtrai-se por ordens diferentes em cima e em baixo na fórmula do declive, ou leem-se m e b antes de isolar o y. Verificar a equação final com um dos pontos iniciais apanha quase todos.

Soluções rápidas para cada distração

Estas são as distrações que aparecem vezes sem conta, com uma solução rápida para cada uma.

• Trocar x e y num ponto. (5, 7) significa x = 5 e y = 7. Ao ler, pensa «primeiro na horizontal, depois na vertical».
• Mudar a ordem da subtração. Se em cima fazes 9 − 5, em baixo faz 3 − 1, com o mesmo ponto à frente nas duas vezes.
• Trocar m e b. Em y = 4 + 3x o declive continua a ser 3, porque m é o número que multiplica o x, esteja onde estiver.
• Perder um sinal de menos. Em y = −x + 2 o declive é −1, não 1.
• Achar que uma fração tem de estar errada. Declives como 3/4 ou −2/3 são tão válidos como 2.

Praticar a equação reduzida até sair naturalmente

Ler retas depressa vem de ver muitas. No jogo de funções afins, cada ataque é uma pergunta sobre uma reta, por isso treinas muito a identificar declives e ordenadas na origem sem que pareçam trabalhos de casa.

Resolver em ordem a b também é só uma pequena equação de um passo. Se é aí que encravas, o jogo de equações é um bom aquecimento.

As letras mudam de país para país. Em Portugal escreve-se y = mx + b, tal como nos países de língua inglesa, mas no Brasil é comum y = mx + n, em França e na Polónia y = ax + b, na Rússia y = kx + b e em Itália y = mx + q. Sejam quais forem as letras, o número que multiplica o x é sempre o declive e o número que fica sozinho indica onde a reta interseta o eixo Oy.

Dois números descrevem qualquer reta que não seja vertical

Qualquer reta que não seja vertical pode escrever-se como y = mx + b, por isso bastam dois números para a descrever por completo. O declive diz quão inclinada é e para que lado, e a ordenada na origem diz onde começa. Encontra esses dois números, verifica a equação com um ponto e o resto vem por si.