Desvio padrão explicado de forma simples, com um exemplo passo a passo

Como se calcula o desvio padrão passo a passo?

Para calcular o desvio padrão, encontra a média, subtrai-a a cada valor, eleva cada diferença ao quadrado e soma os quadrados. Divide esse total pelo número de valores, e obténs a variância. Por fim, calcula a raiz quadrada da variância. O resultado é o desvio padrão, de novo nas unidades originais dos dados.

Exemplo

Duas equipas de 8 jogadores respondem ao mesmo questionário de 10 perguntas. Pega na equipa B, cujas pontuações são 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 e 9.

1. Encontra a média. 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40, e 40 : 8 = 5
2. Subtrai a média a cada valor. Isto dá −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
3. Eleva cada diferença ao quadrado. Isto dá 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16
4. Soma os quadrados. 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
5. Divide pelo número de valores. 32 : 8 = 4, que é a variância
6. Calcula a raiz quadrada. √4 = 2, portanto o desvio padrão é 2

O mesmo cálculo, valor a valor, ajuda a não perder o fio.

• 2 − 5 = −3, e (−3)² = 9
• 4 − 5 = −1, e (−1)² = 1, três vezes
• 5 − 5 = 0, e 0² = 0, duas vezes
• 7 − 5 = 2, e 2² = 4
• 9 − 5 = 4, e 4² = 16

Repara que as próprias diferenças, −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 e 4, somam 0. Isso acontece sempre, e explica porque se elevam ao quadrado, como mostra a secção seguinte. O último passo precisa de uma raiz quadrada, e algumas rondas de raízes quadradas tornam muito mais rápido estimá-las de cabeça.

Qual é a fórmula do desvio padrão?

O desvio padrão populacional é σ = √(Σ(x − μ)² : N). Aqui x é cada valor, μ é a média, N é o número de valores e Σ significa «soma-os todos». Para uma amostra retirada de um grupo maior, divide por n − 1 em vez de N. Essa versão escreve-se s.

Exemplo

Se a equipa B for todo o grupo que te interessa, usa N. A variância é 32 : 8 = 4, e σ = √4 = 2.

Se os 8 jogadores forem uma amostra escolhida para representar uma escola inteira, usa n − 1. A variância é 32 : 7 ≈ 4,57, e s = √4,57 ≈ 2,14.

Porque se divide por n − 1 numa amostra?

Uma amostra costuma deixar de fora alguns dos valores mais extremos do grupo completo, por isso a sua dispersão tende a sair um pouco pequena demais. Dividir por n − 1, um número ligeiramente menor, torna o resultado um pouco maior e corrige isso. Com amostras grandes, a diferença entre as duas versões torna-se mínima.

As calculadoras e as folhas de cálculo oferecem muitas vezes as duas versões. Um botão ou uma função marcados com σ ou «população» dividem por N, e um marcado com s ou «amostra» divide por n − 1. Confirma qual o teu professor ou o teu manual espera, porque ambas estão corretas na sua própria situação.

Porque se elevam as diferenças ao quadrado no desvio padrão?

As diferenças em relação à média somam sempre zero, porque os valores acima da média compensam os que estão abaixo. Elevar ao quadrado torna todas as diferenças positivas, por isso já não se anulam. A raiz quadrada no fim devolve o resultado às unidades originais, de modo que uma dispersão em pontos se mede em pontos.

Exemplo

Na equipa B, as diferenças eram −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 e 4. O seu total é 0, por isso a sua média simples também é 0, o que não diz nada sobre a dispersão. Depois de elevadas ao quadrado, passam a 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 e 16, que somam 32.

Elevar ao quadrado também dá mais peso aos valores afastados. O NIST Engineering Statistics Handbook ilustra isto com clareza. Um ponto a 2 unidades da média acrescenta 4 ao total, enquanto um ponto a 10 unidades acrescenta 100. Isso torna o desvio padrão sensível a um único valor extremo, como uma pontuação de 0 num grupo que, de resto, teve bons resultados.

Existe uma medida mais simples que dispensa o quadrado. O desvio médio absoluto toma a distância de cada valor à média, ignora os sinais de menos e calcula a média dessas distâncias. Na equipa B, as distâncias 3, 1, 1, 1, 0, 0, 2 e 4 somam 12, e 12 : 8 = 1,5. É mais fácil de calcular à mão, mas o desvio padrão é a medida em que se baseia a maioria das ferramentas e fórmulas estatísticas.

O que é um desvio padrão alto ou baixo?

Não há um número único que conte como desvio padrão alto ou baixo. Depende do tamanho dos valores e do que medem. Um desvio padrão de 2 pontos é grande para pontuações de 0 a 10, mas minúsculo para pontuações de 0 a 1000. Compara-o com a média e com a amplitude dos valores possíveis.

Exemplo

Agora compara a equipa B com a equipa A do mesmo questionário.

• Equipa A: 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7
• Equipa B: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

As duas equipas têm média 5, porque cada lista soma 40 e 40 : 8 = 5. Mas as pontuações da equipa A concentram-se à volta de 5, enquanto as da equipa B estão espalhadas de 2 a 9. O desvio padrão da equipa A é de 1 ponto, e o da equipa B é de 2 pontos.

Só pela média, estas equipas pareceriam idênticas. O desvio padrão mostra que a equipa A é muito regular, enquanto a equipa B tem alguns jogadores muito à frente e outros muito atrás.

Outro exemplo

Duas padarias vendem pães com um peso médio de 500 g. Na primeira, o desvio padrão é de 5 g, por isso quase todos os pães pesam perto de 500 g. Na segunda, é de 40 g, por isso alguns pães são claramente mais leves e outros mais pesados. As médias coincidem, mas a primeira padaria é muito mais regular.

Um desvio padrão baixo nem sempre é melhor. Numa sala de aula, um desvio padrão alto nos resultados de um teste pode mostrar simplesmente que as crianças estão em fases muito diferentes, o que é útil para o professor saber. Numa fábrica, um desvio padrão baixo significa normalmente que as máquinas são fiáveis. O número descreve a dispersão, e o contexto decide se essa dispersão é uma boa notícia.

Um desvio padrão nunca pode ser negativo, porque vem da raiz quadrada de números elevados ao quadrado. Só é 0 quando todos os valores são iguais.

O que significa a regra 68-95-99,7?

Em dados que seguem uma distribuição normal, a conhecida curva de Gauss em forma de sino, cerca de 68% dos valores estão a menos de um desvio padrão da média. Cerca de 95% estão a menos de dois desvios padrão, e cerca de 99,7% a menos de três. Chama-se regra empírica, e transforma um desvio padrão numa imagem rápida dos dados.

Exemplo

Imagina que os tempos de uma corrida de 1 km num grupo grande seguem uma curva de Gauss com média de 6 minutos e desvio padrão de 1 minuto. Então, cerca de 68% dos corredores terminam entre 5 e 7 minutos. Cerca de 95% terminam entre 4 e 8 minutos, e quase todos terminam entre 3 e 9 minutos.

A regra só funciona bem com dados em forma de sino. Os grupos pequenos, como as duas equipas do questionário, raramente a seguem de perto. Em dados assimétricos, como os rendimentos ou os tempos de espera, a média e o desvio padrão podem dar uma imagem enganadora, e a mediana e a amplitude descrevem muitas vezes melhor os dados.

A média é o ponto de partida de qualquer desvio padrão, por isso ajuda calcular médias depressa. No jogo de estatística, cada ataque num combate é uma pergunta de estatística, por isso encontrar uma média de cabeça passa a fazer parte de ganhar uma ronda. Rondas curtas e frequentes desenvolvem essa rapidez melhor do que uma sessão longa.

O desvio padrão é a distância típica à média

O desvio padrão responde a uma pergunta. A que distância da média está um valor típico? Usa estes passos sempre que precisares de o calcular à mão.

1. Encontra a média.
2. Subtrai a média a cada valor.
3. Eleva cada diferença ao quadrado.
4. Soma os quadrados.
5. Divide por N para uma população inteira, ou por n − 1 para uma amostra.
6. Calcula a raiz quadrada.

Um resultado pequeno significa que os valores estão próximos, e um resultado grande significa que estão espalhados. Lê-o sempre junto da média e das unidades, porque uma dispersão só faz sentido no seu contexto.