Como se calcula o volume de um cilindro?
Para calcular o volume de um cilindro, eleva ao quadrado o raio da base circular, multiplica por π, que vale cerca de 3,14, e depois multiplica pela altura. Esta é a fórmula V = πr²h. Escreve o resultado em unidades cúbicas, como cm³ ou m³, porque o volume mede o espaço dentro de um sólido, e não um comprimento ou uma superfície.
Exemplo
Calcula o volume de um cilindro com 3 cm de raio e 10 cm de altura.
- Eleva o raio ao quadrado. 3 × 3 = 9
- Multiplica por π para obter a área da base. 9 × π ≈ 28,27 cm²
- Multiplica pela altura. 9π × 10 = 90π
- Acrescenta as unidades cúbicas. O volume é de cerca de 282,74 cm³
Também podes deixar o resultado como 90π cm³. Esta forma exata evita arredondamentos e é comum nos anos mais avançados.
O deslize mais comum é multiplicar o raio por 2 em vez de o elevar ao quadrado. Com um raio de 3 cm, 3 × 2 = 6, mas 3² = 9. Outro é elevar também a altura ao quadrado. Só o raio é elevado ao quadrado, porque só a base é um círculo.
Porque é que o volume de um cilindro é πr²h?
Um cilindro é uma pilha de círculos iguais, como uma pilha de moedas. Cada círculo tem uma área de πr², e a pilha tem h unidades de altura. Por isso, o volume é a área da base multiplicada pela altura. Os prismas seguem a mesma regra, V = área da base × altura.
Exemplo
Imagina uma pilha de bolachas redondas e finas, cada uma com uma área de 20 cm². Se a pilha tiver 5 cm de altura, ocupa 20 × 5 = 100 cm³ de espaço. Um cilindro com uma área da base de 20 cm² e uma altura de 5 cm tem o mesmo volume.
Esta imagem também explica o que acontece quando o cilindro muda de forma. Se duplicares a altura, duplicas o número de camadas, por isso o volume duplica. Se duplicares o raio, cada camada fica quatro vezes maior, porque o raio é elevado ao quadrado. Por isso, o volume fica quatro vezes maior.
O cilindro também se relaciona muito bem com outros dois sólidos redondos. Um cone com a mesma base e a mesma altura leva exatamente um terço do cilindro. Uma esfera que cabe justa dentro de um cilindro ocupa dois terços dele, um resultado de que, segundo a Britannica, Arquimedes se orgulhava tanto que pediu que fosse gravado no seu túmulo.
Como se calcula o volume de um cilindro a partir do diâmetro?
Para calcular o volume a partir do diâmetro, divide o diâmetro por 2 para obter o raio e depois usa V = πr²h. O diâmetro é a distância de um lado ao outro da base circular, passando pelo centro, por isso é o dobro do raio. Num só passo, a fórmula é V = πd²h : 4, que dá exatamente o mesmo resultado.
Exemplo
Uma lata tem 8 cm de diâmetro e 12 cm de altura. Metade do diâmetro dá um raio de 4 cm. Então 4² × π × 12 = 192π ≈ 603,19 cm³.
Com a fórmula de um só passo, 8² = 64, e depois 64 × π × 12 : 4 = 192π ≈ 603,19 cm³. Os dois caminhos dão o mesmo resultado.
Pôr o diâmetro diretamente em πr²h é um erro muito comum. Com a lata acima, isso dá 64 × π × 12 ≈ 2412,74 cm³, que é quatro vezes demasiado. Se um resultado te parecer surpreendentemente grande, verifica se dividiste primeiro o diâmetro por 2.
Como se converte o volume de um cilindro em litros?
Para converter o volume de um cilindro em litros, calcula o volume em centímetros cúbicos e divide por 1000, porque 1 litro corresponde a 1000 cm³. Se o volume estiver em metros cúbicos, multiplica por 1000, porque 1 m³ leva 1000 litros. Antes de começar, confirma que todas as medidas estão na mesma unidade.
Exemplo
Um copo tem 7 cm de diâmetro e 10 cm de altura, medidos por dentro.
- Calcula o raio. 7 : 2 = 3,5 cm
- Calcula o volume. 3,5² × π × 10 ≈ 384,85 cm³
- Converte em litros. 384,85 : 1000 ≈ 0,38 litros, ou cerca de 385 ml
Para um exemplo maior, pensa num depósito de água com 0,5 m de raio e 1,2 m de altura. O seu volume é 0,5² × π × 1,2 ≈ 0,94 m³. Multiplica por 1000 e vês que o depósito leva cerca de 942 litros.
Um problema frequente são as unidades misturadas, como um raio em centímetros e uma altura em metros. Converte primeiro tudo para a mesma unidade. Passar entre cm³, m³, mililitros e litros torna-se muito mais rápido com algumas rondas de conversão de unidades.
Como se calcula a altura ou o raio de um cilindro a partir do volume?
Para calcular a altura, divide o volume pela área da base, ou seja, h = V : (πr²). Para calcular o raio, divide o volume por π vezes a altura e depois calcula a raiz quadrada, ou seja, r = √(V : (πh)). As duas fórmulas são simplesmente V = πr²h ao contrário, um passo de cada vez.
Exemplo
Um jarro cilíndrico tem de levar 1 litro, que corresponde a 1000 cm³, e o seu raio é de 5 cm. A sua altura tem de ser 1000 : (π × 5²) = 1000 : 78,54 ≈ 12,73 cm.
Agora ao contrário. Um cilindro com 10 cm de altura leva 500 cm³. O seu raio é √(500 : (π × 10)) = √15,92 ≈ 3,99 cm.
Para verificar qualquer um dos resultados, volta a pôr os números em V = πr²h. Para o jarro, π × 5² × 12,73 ≈ 1000 cm³, por isso a altura está certa.
A fórmula fixa-se melhor quando a usas com frequência, com números diferentes. No jogo de geometria, cada ataque de um combate é uma pergunta sobre figuras, por isso lembrares-te de πr²h rapidamente passa a fazer parte de ganhar uma ronda. No jogo, π conta como 3, por isso cada resultado é um número inteiro que podes calcular de cabeça. Rondas curtas e frequentes funcionam melhor do que uma sessão longa.
Como se calcula o volume de um cilindro oco?
Um cilindro oco, como um tubo, é um cilindro grande ao qual se tirou um mais pequeno do meio. Calcula o volume do cilindro exterior, subtrai o volume do buraco, e o que sobra é o material. Em fórmula, fica V = π(R² − r²)h, em que R é o raio exterior e r é o raio interior.
Exemplo
Um tubo tem 100 cm de comprimento, com um raio exterior de 5 cm e um raio interior de 4 cm.
- Eleva os dois raios ao quadrado. 5² = 25 e 4² = 16
- Subtrai. 25 − 16 = 9
- Multiplica por π e pelo comprimento. 9 × π × 100 = 900π ≈ 2827,43 cm³
Um erro comum é subtrair os raios antes de os elevar ao quadrado. Isso dá (5 − 4)² × π × 100 = 100π ≈ 314,16 cm³, que é demasiado pequeno. Eleva primeiro cada raio ao quadrado e depois subtrai.
Calcula primeiro a área da base e depois multiplica pela altura
Qualquer pergunta sobre o volume de um cilindro resume-se aos mesmos dois passos. Calcula a área da base circular e depois multiplica pela altura. Usa esta lista para escolher o ponto de partida certo.
- Com o raio r e a altura h: V = πr²h
- Com o diâmetro d: r = d : 2, ou V = πd²h : 4
- Para calcular a altura: h = V : (πr²)
- Para calcular o raio: r = √(V : (πh))
- Cilindro oco: V = π(R² − r²)h
- Litros: cm³ : 1000, ou m³ × 1000
Escreve o resultado em unidades cúbicas e converte em litros só no fim, quando o volume estiver certo.