Os números inteiros na reta numérica
Na reta numérica, os números inteiros são os pontos igualmente espaçados onde paras quando contas para a frente ou para trás a partir do 0. Números como 1/2, 3,5 ou √2 ficam nos espaços entre eles, por isso não são inteiros. Aqui vais ver como os distinguir, porque é que o zero também conta e como funcionam realmente as regras dos sinais.
Como saber se um número é inteiro?
Um número é inteiro se o conseguires escrever sem fração e sem parte decimal. Pode ser positivo, negativo ou zero. O manual OpenStax Prealgebra 2e (em inglês) resume-o de forma simples, os inteiros são os números que usamos para contar, os seus simétricos e o zero. Portanto, 7, −7 e 0 são inteiros, mas 7,5 não é.
Exemplo
Experimenta estes testes rápidos.
- −12 é inteiro, porque é o simétrico do número natural 12.
- 0 é inteiro.
- 3,5 não é inteiro, porque tem parte decimal.
- 1/2 não é inteiro.
- 8/2 é inteiro, porque 8/2 = 4.
- √9 é inteiro, porque √9 = 3.
- √2 não é inteiro, porque vale aproximadamente 1,41.
Os últimos casos mostram um bom hábito. Primeiro calcula o valor e só depois decide. Um número pode parecer uma fração ou uma raiz e, mesmo assim, ser inteiro.
O zero é um número inteiro?
Sim, o zero é um número inteiro. Fica no meio da reta numérica, entre os inteiros negativos e os positivos. O zero não é positivo nem negativo, como o OpenStax diz claramente. Mas é par, porque 0 = 2 × 0, ou seja, dividido por 2 não deixa resto.
Os números negativos são inteiros?
Os números negativos só são inteiros quando não têm fração nem parte decimal. −5 e −100 são inteiros. −2,5 e −3/4 são negativos, mas não são inteiros. O mesmo teste serve para qualquer número, seja qual for o sinal.
Qual é a diferença entre números inteiros e números naturais?
Na escola portuguesa, os números naturais são os que usamos para contar, 1, 2, 3 e assim por diante, sem negativos e sem o zero. Os números inteiros, também chamados inteiros relativos, incluem todos os naturais, o zero e ainda os seus simétricos, −1, −2, −3 e assim por diante. Por isso, −4 é inteiro, mas não é natural. Alguns livros incluem o zero nos naturais, por isso convém confirmar a definição que o manual usado na escola segue.
Exemplo
Assim encaixam os principais conjuntos uns dentro dos outros.
- Números naturais: 1, 2, 3, 4, …
- Números naturais com o zero: 0, 1, 2, 3, 4, …
- Números inteiros: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
- Números racionais: todos os que se podem escrever como fração de dois inteiros, como 1/2, −3/4 e 7 (que é 7/1)
Os matemáticos representam o conjunto dos números inteiros por ℤ. A letra vem da palavra alemã Zahlen, que significa «números». Os naturais representam-se por ℕ, e com o zero por ℕ₀. Como acabámos de ver, nem sobre eles há acordo total, porque uns livros começam no 0 e outros no 1.
Onde aparecem os números inteiros no dia a dia?
Os números inteiros aparecem sempre que contamos para cima e para baixo a partir de um ponto zero. As temperaturas abaixo de zero, os pisos abaixo do rés-do-chão, as profundidades abaixo do nível do mar e a diferença de golos de uma equipa de futebol são inteiros que podem ser negativos. Em todos estes casos, o 0 é um ponto de referência, e não «nada».
Exemplo
De manhã estão −4 °C e até à hora de almoço a temperatura sobe 7 graus. Começa em −4 e conta 7 passos para cima na reta numérica, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. Ao almoço estão 3 °C, portanto −4 + 7 = 3.
No elevador, o rés-do-chão é muitas vezes o 0, a garagem pode ficar no piso −2 e o quinto andar é o 5. Para ir do −2 ao 5 sobes 7 pisos, porque 5 − (−2) = 7.
Como se adicionam e subtraem números inteiros?
Para adicionar inteiros, imagina uma reta numérica. Adicionar um número positivo leva-te para a direita, e adicionar um número negativo leva-te para a esquerda. Subtrair é o contrário de adicionar, por isso subtrair um número negativo leva-te para a direita. É por isso que tirar um negativo dá um resultado maior.
Exemplo
Calcula −3 + 5. Começa em −3 e dá 5 passos para a direita. Passas por −2, −1, 0 e 1, e paras no 2. Portanto, −3 + 5 = 2.
Mais alguns para praticar.
- −6 + 2 = −4, porque 2 passos para a direita a partir de −6 levam a −4.
- −2 − 5 = −7, porque 5 passos para a esquerda a partir de −2 levam a −7.
- 4 − (−3) = 7, porque subtrair −3 é o mesmo que adicionar 3.
Porque é que subtrair um negativo dá um resultado maior?
Subtrair é perguntar «qual é a diferença?». A diferença entre 4 e −3 na reta numérica é de 7 passos, portanto 4 − (−3) = 7. O OpenStax escreve a regra geral como a − (−b) = a + b. Muitas crianças encravam em −5 + 4 porque veem o sinal de mais e esperam um número maior. Se começares em −5 e andares 4 para a direita, vês que o resultado é −1.
Porque é que menos vezes menos dá mais?
Quando multiplicas dois inteiros, o resultado é positivo se os sinais forem iguais e negativo se forem diferentes. Um negativo vezes um negativo dá positivo por causa de um padrão. Cada vez que o primeiro número diminui 1, o resultado muda na mesma quantidade, e esse padrão só continua se o resultado passar a ser positivo.
Exemplo
Repara no que acontece a 3 × (−2) quando o primeiro número diminui 1 de cada vez.
- 3 × (−2) = −6
- 2 × (−2) = −4
- 1 × (−2) = −2
- 0 × (−2) = 0
- (−1) × (−2) = 2
- (−2) × (−2) = 4
Cada resultado é mais 2 do que o anterior. Para o padrão continuar depois do zero, (−1) × (−2) tem de ser 2. Outra maneira de ver é que multiplicar por −1 te faz dar meia-volta na reta numérica. Dá meia-volta duas vezes e voltas a ficar virado para o mesmo lado.
A divisão de inteiros segue a mesma regra dos sinais?
Sim. (−12) : 3 = −4 e (−12) : (−3) = 4, com a mesma regra dos sinais iguais e diferentes. Mas há uma diferença. Adicionar, subtrair ou multiplicar dois inteiros dá sempre um inteiro, mas dividir nem sempre. 8 : 2 = 4 é inteiro, enquanto 7 : 2 = 3,5 não é.
Como ganhar rapidez com os números inteiros?
A rapidez com os inteiros vem de fazer muitos cálculos curtos até teres a reta numérica na cabeça. No jogo de números negativos, cada ataque é um cálculo rápido com números negativos, por isso as crianças treinam as regras dos sinais enquanto tentam ganhar o combate.
Na ronda acima, subtrair −17 é o mesmo que adicionar 17, portanto −1 − (−17) = −1 + 17 = 16.
A distância de um número ao zero chama-se valor absoluto, ou módulo, por isso o valor absoluto de −5 é 5. É a ideia seguinte que a maioria dos alunos estuda depois dos inteiros, e o jogo de valor absoluto transforma-a numa série de rondas rápidas.
Os números inteiros são os que alcanças a contar para a frente ou para trás
Cada número inteiro é um passo que alcanças a contar a partir do 0, para a direita nos positivos e para a esquerda nos negativos. O zero fica no meio e também faz parte do grupo. Se uma criança conseguir imaginar esta reta numérica, as regras para adicionar, subtrair e multiplicar deixam de ser regras para decorar e começam a fazer sentido.
Treina estes a seguir