O que é a substituição regressiva?

A substituição regressiva resolve um sistema triangular da última equação para cima. A linha de baixo tem uma única incógnita, por isso resolve-se primeiro. Esse valor passa para a linha de cima, que fica com uma incógnita, e assim até ao topo. Se a última linha diz 2x₄ = 10, então x₄ = 5, e a linha anterior usa esse 5.

Como se calcula a característica de uma matriz?

Para calcular a característica de uma matriz, reduz-a por linhas até surgir uma escada de pivôs e conta as linhas que não são só zeros. Uma linha que se transforma em zeros era uma mistura das outras e não traz nada de novo. Uma matriz 3×3 cuja terceira linha é a soma das duas primeiras tem característica 2.

Porque é que me engano no sinal ao reduzir linhas?

Os sinais errados ao reduzir linhas vêm quase sempre de subtrair uma entrada negativa. Se a linha 1 tem −3 e a operação é R₂ − 2·R₁, subtrais 2 × (−3) = −6, ou seja, somas 6. Escreve cada produto entre parênteses com o sinal antes de subtrair, e o erro desaparece.

Quando se aprende a eliminação gaussiana?

Em muitos sistemas de ensino, a eliminação gaussiana chega com uma primeira cadeira universitária de álgebra linear, embora algumas escolas secundárias a apresentem com sistemas 3×3. Aqui, os seus níveis são pensados para jovens de 18 anos. Quem lida bem com números negativos e equações simples pode começar pelo primeiro nível.

Este jogo de redução por linhas é grátis e serve para as aulas?

Sim, é grátis em qualquer navegador de portátil, tablet ou telemóvel, sem instalar nada. Para praticar a redução por linhas, dá a cada equipa um sistema 3×3 e pede que anunciem cada nova entrada enquanto eliminam. A primeira equipa a chegar a uma escada limpa explica os seus passos à turma. Com o plano para escolas, pago por aluno, o professor ganha um painel onde vê quem está a acelerar.

Praticar matemática · reinventado

Jogo de eliminação de Gauss

Aqui a eliminação gaussiana surge uma entrada de cada vez: o número que uma operação de linha deixa, uma incógnita lida numa escada ou a característica da matriz inteira. O teu rival vê a mesma matriz, por isso quanto mais limpas forem as tuas contas, mais cedo o teu lutador ataca.

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O que é a eliminação gaussiana?

A eliminação gaussiana é um método para resolver um sistema de equações lineares arrumando a sua matriz, a tabela de coeficientes, linha a linha. Podes trocar duas linhas, multiplicar uma linha ou subtrair a uma linha um múltiplo de outra. Passo a passo surgem zeros por baixo de uma escada, e depois as soluções leem-se de baixo para cima.

Todos os níveis de Eliminação de Gauss

Exemplo: R₂ − 5·R₁ em [ 1 2 4 8 ; 5 4 6 7 ; 5 4 5 8 ]

A pergunta pede a₂₂, a nova entrada da linha 2, coluna 2, depois de R₂ − 5·R₁.
Nessa coluna, a linha 2 tem 4 e a linha 1 tem 2.
Subtrai cinco vezes a entrada da linha 1: 4 − 5 × 2 = 4 − 10 = −6.
A nova entrada é −6, por isso escreves com o sinal de menos.

Aprende passo a passo

A eliminação de Gauss arruma uma matriz uma linha de cada vez. O movimento que mais usa é: pega numa linha e subtrai-lhe um certo número de cópias de outra linha. Escrito L₂ − 3·L₁, quer dizer: nova linha 2 = linha 2 menos 3 vezes a linha 1.

Faz-se elemento a elemento, coluna a coluna. Para encontrar o novo elemento da linha 2, coluna 3, pega no elemento antigo da linha 2 na coluna 3 e subtrai-lhe 3 vezes o elemento da linha 1 na coluna 3. Se forem 7 e 4, o novo elemento é 7 − 3 × 4 = 7 − 12 = −5. O k é escolhido para que o primeiro elemento da linha passe a 0 — é esse o objetivo do movimento — mas só precisas do elemento que a pergunta indica.

Encontra os dois elementos na coluna pedida, multiplica o de cima por k, subtrai e escreve o novo elemento.

Dicas e erros comuns

Lê a₃₂ como um lugar no cinema: primeiro a fila, depois o lugar. Linha 3, coluna 2, nunca ao contrário.
Um erro comum é alterar as duas linhas. R₂ − 5·R₁ só reescreve a linha 2; a linha 1 fica igual e apenas empresta os seus números.
Escreve um sistema pequeno em papel, como x + y = 5 e x − y = 1, e disputem quem elimina o x antes de isolar o y.

Como se joga

Cada ronda mostra uma matriz com uma pergunta ao lado: uma operação de linha e a entrada que muda, uma incógnita de um sistema triangular ou uma característica. Escreve o número antes do teu rival e Alho acerta o golpe, com mais força quanto mais rápido fores. Se errares, ficas atordoado por um instante.

— Respostas rápidas —

Eliminação de Gauss: o FAQ rápido

O que é a substituição regressiva?: A substituição regressiva resolve um sistema triangular da última equação para cima. A linha de baixo tem uma única incógnita, por isso resolve-se primeiro. Esse valor passa para a linha de cima, que fica com uma incógnita, e assim até ao topo. Se a última linha diz 2x₄ = 10, então x₄ = 5, e a linha anterior usa esse 5.
Como se calcula a característica de uma matriz?: Para calcular a característica de uma matriz, reduz-a por linhas até surgir uma escada de pivôs e conta as linhas que não são só zeros. Uma linha que se transforma em zeros era uma mistura das outras e não traz nada de novo. Uma matriz 3×3 cuja terceira linha é a soma das duas primeiras tem característica 2.
Porque é que me engano no sinal ao reduzir linhas?: Os sinais errados ao reduzir linhas vêm quase sempre de subtrair uma entrada negativa. Se a linha 1 tem −3 e a operação é R₂ − 2·R₁, subtrais 2 × (−3) = −6, ou seja, somas 6. Escreve cada produto entre parênteses com o sinal antes de subtrair, e o erro desaparece.
Quando se aprende a eliminação gaussiana?: Em muitos sistemas de ensino, a eliminação gaussiana chega com uma primeira cadeira universitária de álgebra linear, embora algumas escolas secundárias a apresentem com sistemas 3×3. Aqui, os seus níveis são pensados para jovens de 18 anos. Quem lida bem com números negativos e equações simples pode começar pelo primeiro nível.
Este jogo de redução por linhas é grátis e serve para as aulas?: Sim, é grátis em qualquer navegador de portátil, tablet ou telemóvel, sem instalar nada. Para praticar a redução por linhas, dá a cada equipa um sistema 3×3 e pede que anunciem cada nova entrada enquanto eliminam. A primeira equipa a chegar a uma escada limpa explica os seus passos à turma. Com o plano para escolas, pago por aluno, o professor ganha um painel onde vê quem está a acelerar.

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