Hur räknar du ut cirkelns area?
För att räkna ut cirkelns area tar du radien, alltså avståndet från mittpunkten till kanten, i kvadrat och multiplicerar resultatet med π, som är ungefär 3,14. Skriv svaret i areaenheter, till exempel cm² eller m², eftersom area mäter en yta och inte en längd.
Exempel
Räkna ut arean av en cirkel med radien 5 cm.
- Ta radien i kvadrat. 5 · 5 = 25
- Multiplicera med π. 25 · π ≈ 78,54
- Lägg till areaenheten. Arean är ungefär 78,54 cm²
Du kan också låta svaret stå som 25π cm². Den exakta formen är vanlig i högre årskurser, eftersom du slipper avrunda.
Ska du använda 3,14 eller π-knappen?
Båda går bra, så länge du följer det läraren eller uppgiften säger. π är ett irrationellt tal, så decimalerna tar aldrig slut och upprepar sig aldrig, som Britannica förklarar. Med 3,14 får du 25 · 3,14 = 78,5 cm², medan π-knappen ger 78,54 cm². Den lilla skillnaden beror bara på att π avrundas.
Vanliga fel med formeln
Det vanligaste felet är att multiplicera radien med 2 i stället för att ta den i kvadrat. Med radien 5 cm blir 5 · 2 = 10, men 5² = 25. Ett annat misstag är att först multiplicera π med radien och sedan ta hela resultatet i kvadrat. Prioriteringsreglerna säger att potenser räknas först, så ta radien i kvadrat innan du multiplicerar med π.
Hur räknar du ut cirkelns area med diametern?
För att räkna ut arean med diametern halverar du diametern för att få radien och använder sedan A = πr². Diametern går rakt över cirkeln genom mittpunkten, så den är dubbelt så lång som radien. I ett steg är formeln A = πd² / 4, som ger exakt samma svar.
Exempel
En cirkel har diametern 10 cm. Halvera den så får du radien 5 cm. Sedan är 5² · π = 25π ≈ 78,54 cm².
Med formeln i ett steg blir 10² = 100, och sedan 100 · π / 4 = 25π ≈ 78,54 cm². Båda vägarna ger samma svar.
Ett mycket vanligt fel är att sätta in diametern direkt i πr². Med 10 cm ger det 100π ≈ 314,16 cm², vilket är fyra gånger för stort. Om ett svar ser förvånansvärt stort ut, kontrollera om du råkat använda diametern.
Hur räknar du ut cirkelns area med omkretsen?
För att räkna ut arean med omkretsen tar du först fram radien genom att dela omkretsen med 2π. Sedan använder du A = πr². Omkretsen är sträckan runt cirkeln, och den är lika med 2πr. Om du vill göra det i ett steg är formeln A = C² / (4π), där C är omkretsen.
Exempel
En rund rabatt har omkretsen 30 m. Räkna ut dess area.
- Ta fram radien. 30 / (2 · π) ≈ 4,77 m
- Räkna ut arean. Behåll hela radien i miniräknaren. π · 4,7746² ≈ 71,6 m²
- Kontrollera med formeln i ett steg. 30² / (4 · π) = 900 / 12,566 ≈ 71,6 m²
Om du avrundar radien till 4,77 först får du i stället π · 4,77² ≈ 71,5 m². Den lilla skillnaden är skälet till att det är bäst att avrunda först i slutet.
Varför är cirkelns area πr²?
Dela en cirkel i många lika stora bitar, som en pizza, och lägg dem i en rad med spetsen omväxlande uppåt och nedåt. Bitarna bildar en figur som nästan är en rektangel. Höjden är radien, r, och längden är halva omkretsen, πr. Arean är alltså πr · r, vilket är πr².
Exempel
Tänk dig en cirkel med radien 5 cm delad i 16 bitar. Hälften av bitarna pekar uppåt och hälften nedåt. Raden är lika lång som halva omkretsen, π · 5 ≈ 15,7 cm, och lika hög som radien, 5 cm. Arean är alltså ungefär 15,7 · 5 ≈ 78,5 cm², precis som formeln säger.
Med bara 16 bitar är kanterna fortfarande lite vågiga. Med 100 eller 1 000 bitar blir figuren mer och mer lik en perfekt rektangel. Det är idén bakom formeln, och den är mycket lättare att komma ihåg än formeln ensam.
Den grekiske matematikern Arkimedes arbetade med det här problemet för över 2 000 år sedan. Britannica beskriver hur han bevisade att cirkelns area delad med radien i kvadrat alltid är samma tal, och hur han använde månghörningar innanför och utanför en cirkel för att visa att π ligger mellan 223/71 och 22/7.
Ett snabbt sätt att kontrollera svaret
En cirkel passar precis i en kvadrat vars sidor är lika långa som diametern. Kvadraten har arean 2r · 2r = 4r². Cirkeln täcker lite mer än tre fjärdedelar av den, ungefär 78,5 %, eftersom π / 4 ≈ 0,785. Om en cirkel med radien 5 cm ligger i en kvadrat med sidan 10 cm och arean 100 cm², bör cirkelns area alltså vara lite under 80 cm². Den är 78,54 cm².
Formeln fastnar bäst när du använder den ofta, med olika tal. I geometrispelet är varje attack i en match en fråga om figurer, så att snabbt komma ihåg πr² blir en del av att vinna en rond. I spelet räknas π som 3, så varje svar blir ett heltal som du kan räkna ut i huvudet. Korta, täta ronder fungerar bättre än ett långt pass.
Hur tar du fram radien när du vet arean?
För att ta fram radien ur arean räknar du baklänges genom formeln. Dela arean med π och dra sedan kvadratroten ur resultatet. Som formel blir det r = √(A / π). Dubbla radien om du behöver diametern i stället.
Exempel
En cirkel har arean 50 cm². Dela med π. 50 / π ≈ 15,92. Dra sedan kvadratroten. √15,92 ≈ 3,99, så radien är ungefär 3,99 cm och diametern ungefär 7,98 cm.
Kontrollera genom att sätta tillbaka radien i formeln. π · 3,99² ≈ 50,0 cm². Om kvadratrötterna känns ringrostiga gör några ronder med kvadratrötter det här steget mycket snabbare.
Är en stor pizza större än två små?
Ofta, ja. Eftersom radien tas i kvadrat blir arean fyra gånger så stor när du dubblar diametern. En pizza med diametern 30 cm har en area på ungefär 707 cm². Två pizzor med diametern 20 cm har tillsammans ungefär 628 cm², så den stora pizzan ger dig mer.
Exempel
För pizzan på 30 cm är radien 15 cm, så arean är π · 15² ≈ 706,9 cm². För en pizza på 20 cm är radien 10 cm, så arean är π · 10² ≈ 314,2 cm². Två sådana blir ungefär 628,3 cm², omkring 79 cm² mindre än den stora pizzan.
Den här sortens jämförelse är ett bra sätt att visa barn varför kvadreringen spelar roll. En cirkel som bara är lite bredare täcker mycket mer yta.
Vad är arean av en halvcirkel?
En halvcirkel är en halv cirkel, så dess area är hälften av πr², alltså πr² / 2. För en halvcirkel med radien 5 cm är arean 25π / 2 ≈ 39,27 cm². Kom ihåg att använda radien, inte längden på den raka kanten, som är diametern.
Ta fram radien först, så löser sig resten
Nästan alla uppgifter om cirkelns area blir enkla när du vet radien. Använd listan för att välja rätt första steg.
- Radien r är given: A = πr²
- Diametern d är given: r = d / 2, eller A = πd² / 4
- Omkretsen C är given: r = C / (2π), eller A = C² / (4π)
- Arean är given och du söker radien: r = √(A / π)
- Halvcirkel: A = πr² / 2
Skriv enheten som areaenhet i slutet, och använd kvadratkontrollen för att se om svaret har ungefär rätt storlek.
Träna dessa härnäst